Devoir Surveill´ e n˚4. Probabilit´ es.

Devoir Surveill´ e n˚4. Probabilit´ es.

Correction.

Exercice 1 (BAC)

0.85

0 1

00 11

p(S)=0.8

F

F

S

S S

S

chemin F S

p(S) 0.2

0.6

0.4 p(F)=0.15

00 11

1. La premi`ere question, comme souvent, consiste juste `a traduire l’´enonc´e...

a) 15% des clients ont utilis´e une carte de fid´elit´e doncp(F) = 0.15.

b) 80% des clients dont onsaitqu’ils ont une carte de fid´elit´e ont fait des achats de plus de 50 euros doncpF(S) = 0.8.

2. F∩S=”La fiche choisie indique que le client a effectu´e ses achats avec une carte de fid´elit´eet que ceux-ci avaient un montant sup´erieur `a 50 euros”.p(F∩S) =p(F)×pF(S) = 0.15×0.8 doncp(F∩S) = 0.12.

3. Il faut se servir de l’arbre, on somme les probabilit´es des chemins menant `a un S : p(S) = p(F∩S) +p(F∩S) = 0.12 + 0.85×0.6 = 0.12 + 0.51 = 0.63

4. p(S)6=pF(S) donc F et S sont d´ependants : le fait que le client ait une carte de fid´elit´e influe sur la valeur de ses achats.

5. F∪S = F ∩S=”la fiche indique que le client n’utilise pas de carte de fid´elit´e et qu’il a d´epens´e moins de 50 euros”.

Exercice 2 (BAC)

1.

probabilit´e du r´esultat

0,3

0 1

00 11

A

A

B

B B

B 0,3

0,9 0,6

0,4

0,7

00 11

p(A∩B) = 0.18 p(A∩B) = 0.42 p(A∩B) = 0.04 p(A∩B) = 0.36

2. On lit dans l’arbre pA(B) = 0.3 etp_A(B) = 0.1.

3. On fait la somme des probabilit´es des chemins qui m`enent `a un B :p(B) =p(A∩B) +p(A∩ B) = 0.3×0.6 + 0.4×0.1 = 0.22.

4. a) E=A∩B (il ne pratique ni A ni B).p(E) =p(A∩B) = 0.36 (cf 1˚).

b) F est l’´ev´enement contraire de E :F =E. Doncp(F) = 1−p(E).p(F) = 0.64.

Exercice 3 : QCM (BAC)

1. pA(B) =^p(A∩B)_p(A) doncp(A) = ^p(A∩B)_p

A(B) , doncp(A) = ²₅ (r´eponse C).

2. Les ´ev´enements C et D sont ind´ependants, doncp(C∩D) =p(C)×p(D). Doncp(C∩D) = 0.12 (r´eponse B).

3. On compl`ete le tableau (on sait qu’il y a 80 personnes en tout). On trouve 8 femmes cadres.

La probabilit´e que la personne choisie soit un homme sachant que c’est un cadre est ´egale au nombre d’hommes cadres sur le nombre de cadres, `a savoir ¹²₂₀ soit ³₅ (r´eponse A).

2