Corrig´e du Devoir Surveill´e n

Corrig´ e du Devoir Surveill´ e n ^◦ 7

Exercice 1 : S´ erie harmonique incompl` ete

S´erie harmonique

On consid`ere la s´erie harmoniqueX

n≥1

1

n. On note pour tout entiern∈N^?

Tn=

n

X

k=1

1

k = 1 +1 2 +1

3 +· · ·+1 n

1. Soitn∈N^?, alorsT2n−Tn= 1

n+ 1+ 1

n+ 2+· · ·+ 1 2n ≥n

2 = 1

2. N

2. Montrons par l’absurde que la s´erie diverge. Supposons au contraire qu’elle soit convergente de somme σ. En ce cas, par passage `a la limite dans l’in´egalit´e pr´ec´edente, j’obtiens 0≥<sup>1</sup><sub>2</sub>, ce qui est absurde. Par suite la s´erie diverge. Comme cette s´erie est `a temes positifs, elle diverge vers +∞. N S´erie harmonique incompl`ete

On consid`ere d´esormais la s´erie dont le terme g´en´eralun est d´efini par







u0 = 0

un = 0 si le chiffre 5 apparaˆıt dans l’´ecriture d´ecimale den un = 1

n dans tous les autres cas On note pour tout entiern∈NSn=

n

X

k=0

uk

3. D´enombrement

a. Les entiers compris entre 1 et 9 s’´ecrivant sans le chiffre 5 sont 1,2,3,4,6,7,8 et 9. Il y en a donc 8

b. Un entier compris entre 10 et 99 s’´ecrivant sans le chiffre 5 est de la formen=a10 +b, o`uaest un entier compris entre 1 et 9 s’´ecrivant sans le chiffre 5 et b est un entier compris entre 0 et 9 s’´ecrivant sans le chiffre 5.

• Choix de a 8 possibilit´es

• Choix de b 9 possibilit´es

Il y a donc 72 nombres compris entre 10 et 99 s’´ecrivant sans le chiffre 5. N c. Tout nombre enier compris entre 10^p et 10^p+1−1 peut se mettre sous la forme

n=ap· · ·a1a0

o`u lesak sont des chiffres compris entre [[0,9]] saufap qui ne peut ˆetre nul.

Nous pouvons alors d´enombrer le nombre d’entiers compris entre 10^p et 10^p+1−1 s’´ecrivant sans le chiffre 5 de la fa¸con suivante :

• Choix de ap 8 possibilit´es

• Choix de ap−1 9 possibilit´es

... ... .

• Choix de a0 9 possibilit´es

Au total il y a donc 8×9^p entiers compris entre 10^p et 10^p+1−1 s’´ecrivant sans le chiffre 5. N

4. Pour tout entierp∈NS10^p+1−1−S10^p−1=

10^p+1−1

X

k=10^p

uk. Dans cette somme les termes sont les inverses des entiers compris entre 10^pet 10^p+1−1 qui s’´ecrivent sans le chiffre 5. D’apr`es la question pr´ec´edente, il y a donc 8×9^p termes non nuls dans cette somme. Le plus grand d’entre eux est(inverse du plus petit...) 1

10^p. Par suite S10^p+1−1−S10^p−1 < 8

9 10

p

N 5. Soitp∈N^? unt´elescopage montre que

p

X

`=2

S10^{`</sup>−1−S10<sup>`}−1−1

=S10^p−1−S9. Il en r´esulte d’apr`es la question pr´ec´edente que

S10^p−1 =

p

X

`=2

S10^{`</sup>−1−S10<sup>`−1}−1

+S9

≤

p−1

X

`=1

S10^{`+1</sup>−1−S10<sup>`}−1

+ 8

≤

p−1

X

`=1

8 (9/10)^`+ 8

≤ 8×

p−1

X

`=0

(9/10)^`= 8× 1 1−(9/10)

≤ 80.

Ainsi, la suite S10^p−1

p∈Nest major´ee par 80. N

6. Comme lesuk sont positifs ou nuls, la suite (Sn) est croissante. Elle est donc convergente si et seulement si elle est major´ee. Or pour tout entiern∈N,n≤10ⁿ−1. Par croissance deSn, il en r´esulte queSn≤S10ⁿ−1≤80.

La suite (Sn) ´etant croissante et major´ee, elle converge. Autrement dit, P

n≥0un converge et sa somme est

inf´erieure `a 80. N

Moralit´e : La s´erie harmonique est assez proche d’ˆetre convergente puisqu’il suffit de lui retirerquelques termes pour la faire converger.

Exercice 2 : Nombre de garc ¸ons d’une famille

Soitpun nombre r´eel tel que 0< p < ²₃.

Dans un pays, on admet que la probabilit´e qu’une famille aitnenfants pourn∈N^? est pn= 1

2pⁿ De plus `a chaque naissance, la probabilit´e d’avoir un gar¸con est ¹₂.

On consid`ere une famille de ce pays et on note pour tout entier natureln∈N: – En l’´ev´enement “la famille compten enfants”

– Gn l’´ev´enement “la famille an gar¸cons”

1. Notons E l’´ev´enement “la famille a au moins un enfant”. Nous pouvons discuter suivant le nombre exact d’enfants de la famille, il vient :

E= [

n≥1

En

Les ´ev´enementsEn ´etant deux `a deux incompatibles, il r´esulte de laσ-additivit´e des probabilit´es que p(E) =p [

n≥1

En

=

+∞

X

n=1

p(En) = 1 2

+∞

X

n=1

pⁿ= 1 2

p 1−p.

D’o`uq= p 2 (1−p).

Comme 0< p <2/3, on v´erifie ais´ement queq∈]0,1[. Il en d´ecoule queq0=p( ¯E) = 1−q= 2−3p

2 (1−p). N Remarque : Dans cette premi`ere question, un r´esultat possible est un nombre entier naturel (le nombre d’enfants).

On peut mod´eliser l’exp´erience al´eatoire d´ecrite par Ω =N. Ω ´etant d´enombrable, on l’´equipe de la tribu ˚A=P(Ω).

Clairement ˚Aest engendr´ee par les singletons{n}.

Une probabilit´e sur Ω est en ce cas la donn´ee d’une suite (pn) de r´eels positifs tels que

+∞

X

n=0

pn = 1. Dans cet exercice pn =¹₂pⁿpourn≥1. La condition 0< p <2/3 permet d’assurer que

+∞

X

n=1

pn <1. De sorte qu’en posantp0= 1−

+∞

X

n=1

pn,

la suite (pn)n∈Nd´efinit bien une probabilit´e sur Ω.

2. Soitk ∈Net n∈N^? tel que n≥k. On suppose que la famille an enfants. L’ensemble des r´esultats possibles est une n-liste d’´elements de{F, G}avec des notations ´evidentes. Autrement dit Ω ={F, G}ⁿ.

D’autre part, comme `a chacune des nnaissances, il y a ´equiprobabilit´e qu’il s’agisse d’une fille ou d’un gar¸con, Ω est muni de la probabilit´e uniforme :

Card Ω = 2ⁿ

Notons ˜Gk ∈ P(Ω) l’´ev´enement “la famille a k enfants”. Pour d´enombrer ˜Gk je discute suivant l’ordre de naissance des enfants

• je choisis les rangs deskgar¸cons parmi lesnpossibles ⁿ_k

possibilit´es,

• je choisis les rangs pour les filles ^n−k_n−k

possibilit´es.

Par suiteCard G˜k = ⁿ_k

. Par cons´equent

p( ˜Gk) =

n k

2ⁿ Autrement dit,p(Gk |En) = 2⁻ⁿ

n k

. N

3. Soitk∈N^?. Pour calculer la probabilit´e pour que cette famille ait exactementkgar¸cons, j’utilise la formule des probabilit´es totales pour le syst`eme complet d’´ev´enements (En)n∈N, il vient :

p(Gk) =

+∞

X

n=0

p(En)×p(Gk|En) =

+∞

X

n=k

p(En)×p(Gk|En) = 1 2

+∞

X

n=k

n k

p 2

ⁿ

Or la s´erie g´eom´etrique d´eriv´eekfois de raisonp/2 est convergente et

+∞

X

n=k

n k

p 2

^n−k

= 1

1−(p/2)k+1

Il en r´esulte que p(Gk) = 1 2× p

2

^k 1

1−(p/2)k+1 = p^k

(2−p)^k+1. N

4. NotonsGl’´ev´enement “la famille a au moins un gar¸con”. En discutant suivant le nombre exact de gar¸con dans la famille, il est clair que

G= [

k≥1

Gk

LesGk ´etant deux `a deux incompatibles, il vient parσ-additivit´e : p(G) =

+∞

X

k=1

p(Gk) = 1 2−p

+∞

X

k=1

p/2−p^k

= p

2 (2−p) (1−p) = p 4−6p+ 2p² Passons `a l’´ev´enement contraire, il vientp( ¯G) = 1−p(G) =2p²−7p+ 4

2p²−6p+ 4. N

Probl` eme 1 : Au camping “Les flots bleus ”

Partie I . Calcul matriciel

On consid`ere les matrices M =





1/2 2/3 1/2 1/4 1/3 1/4

1/4 0 1/4



= 1 12





6 8 6

3 4 3

3 0 3



, P =





1 2 6

0 1 3

−1 −3 2



 etD=





0 0 0

0 1/12 0

0 0 1





1. L’algorithme de Gauss-Jordan donne successivement





1 2 6

0 1 3

−1 −3 2









1 0 0

0 1 0

0 0 1









1 2 6

0 1 3

0 0 11









1 0 0

0 1 0

1 1 1





puis finalement





1 0 0

0 1 0

0 0 1





1 11





11 −22 0

−3 8 −3

1 1 1





Par cons´equentP est inversible et

P⁻¹= 1 11





11 −22 0

−3 8 −3

1 1 1





N 2. Calculons 121× P⁻¹×M×P

:





6 8 6

3 4 3

3 0 3









1 2 6

0 1 3

−1 −3 2









11 −22 0

−3 8 −3

1 1 1









0 0 0

−3 8 −3 12 12 12









0 0 0

0 11 0

0 0 132





D’o`u je tireP⁻¹×M ×P =D. N

3. Soitn∈Nla matriceDⁿ =





0 0 0

0 (1/12)ⁿ 0

0 0 1



. N

4. Montrons par r´ecurrence que∀n∈N^?, Mⁿ=P×Dⁿ×P⁻¹

Initialisation : lorsque n= 0 tout le monde vaut l’identit´e. Montrons le casn= 1.

D’apr`es la question pr´ec´edenteP<sup>−1</sup>×M×P =D. Multiplions les deux membres de cette ´egalit´e `a gauche par P et `a droite parP⁻¹, il vient

M =P×D×P⁻¹

H´er´edit´e : Soitn≥1 tel queMⁿ=P×Dⁿ×P⁻¹ alors par associativit´e du produit matriciel, il vient Mⁿ⁺¹=M × P×Dⁿ×P⁻¹

= P×D×P⁻¹

× P×Dⁿ×P⁻¹

= (P×D)× P⁻¹×P

×(Dⁿ×P⁻¹) En utilisant la relationP⁻¹×P =I, j’en d´eduis finalement queMⁿ⁺¹=P×Dⁿ⁺¹×P⁻¹.

Conclusion :par r´ecurrence, nous avons d´emontr´e que∀n∈N^?, Mⁿ=P×Dⁿ×P⁻¹. N

5. Soitn∈N^? un entier naturel non nul. Caclulons 11×P×Dⁿ×P⁻¹ :





0 0 0

0 (1/12)ⁿ 0

0 0 1









11 −22 0

−3 8 −3

1 1 1









1 2 6

0 1 3

−1 −3 2









0 2(1/12)ⁿ 6 0 (1/12)ⁿ 3 0 −3(1/12)ⁿ 2









6−6× ₁₂¹n

6 + 16× ₁₂¹n

6−6× ₁₂¹n

3−3× ₁₂¹n

3 + 8× ₁₂¹n

3−3× ₁₂¹n

2 + 9× ₁₂¹ⁿ

2−24× ₁₂¹ⁿ

2 + 9× ₁₂¹ⁿ





D’o`u je tire finalement

Mⁿ= 1 11





6−6× ₁₂¹ⁿ

6 + 16× ₁₂¹ⁿ

6−6× ₁₂¹ⁿ 3−3× ₁₂¹ⁿ

3 + 8× ₁₂¹ⁿ

3−3× ₁₂¹ⁿ 2 + 9× ₁₂¹ⁿ

2−24× ₁₂¹ⁿ

2 + 9× ₁₂¹ⁿ





N

Partie II . Probabilit´ es

Pour tout entier naturel non nuln∈N^?, on d´efinit les ´ev´enements – An “L´eo choisit l’atelier le jour n,

– Bn “L´eo choisit le ballon le jour n, – Cn “L´eo choisit le cheval le jour n,

et on notean,bn,cn les probabilit´es respectives de ces ´ev`enements.

1. L’´enonc´e se traduit par :

∀n∈N^?,







p(An+1|An) =¹₂, p(Bn+1|An) =¹₄, p(Cn+1|An) =¹₄ p(An+1|Bn) =²₃, p(Bn+1|Bn) =¹₃,

p(An+1|Cn) =¹₂, p(Bn+1|Cn) = ¹₄, p(Cn+1|Cn) =¹₄

Comme au premier jour L´eo choisit une activit´e au hasard,a1=b1=c1= ¹₃. N 2. Appliquons la formule des probabilit´es totales pour les syst`eme complet d’´ev´enements non n´egligeablesAn, Bn, Cn.

Il vient

p(An+1 =p(An)×p(An=1|An) +p(Bn)×p(An=1|Bn) +p(Cn)×p(An=1|Cn).

Introduisons les notations an,bn et cn. Grˆace `a la question pr´ec´edente, nous obtenons : an+1=1

2an+2 3bn+1

2cn

En proc´edant de la mˆeme mani`ere nous d´eduisons de la formule des probabilit´es totales et de la question pr´ec´edente, les relations







an+1 = ¹₂an +²₃bn +¹₂cn

bn+1 = ¹₄an +¹₃bn +¹₄cn

cn+1 = ¹₄an +¹₄cn.

N 3. On note pour tout entiern∈N^?,Xn la matrice colonne



 an

bn

cn



. Pour tout entier naturel non nuln∈N^?,

M×Xn =





1/2 2/3 1/2 1/4 1/3 1/4

1/4 0 1/4



×



 an

bn

cn



=





1

2an+²₃bn+¹₂cn 1

4an+¹₃bn+¹₄cn 1

4an+¹₄cn



=Xn+1,

la derni`ere ´egalit´e provenant de la question pr´ec´edente. N

4. Une r´ecurrence imm´ediate permet alors de conclure que pour tout entier naturel non nuln Xn=Mⁿ⁻¹×X1

N

5. Substituons dans l’´egalit´e ci-dessus l’expression obtenue pourMⁿ`a la question5de laPartie I, nous obtenons :

∀n∈N^?,















an = 18 + 4×12⁻ⁿ⁺¹ 33 bn = 9 + 2×12⁻ⁿ⁺¹

33 cn = 6−6×12⁻ⁿ⁺¹

33

.

N 6. Par op´erations alg´ebriques sur les suites convergentes, nous avons

n→∞lim an =18 33, lim

n→∞bn= 9

33, lim

n→∞cn= 6 33.

N