DM de MPSI2
Corrig´ e de devoir non surveill´ e
Equation diff´ ´ erentielle lin´ eaire d’ordre 2 ` a coefficients non constants
1yest deux fois d´erivable, en tant que compos´ee (licite) de telles fonctions. On trouve alors grˆace aux th´eor`emes g´en´eraux sur la d´erivation :
∀x∈R+∗, y0(x) = 1
xz0(t) ety00(x) =−1
x2z0(t) + 1 x2z00(t)
2Remarquons quey est deux fois d´erivable si et seulement sizl’est. Il suffit de remplacer y, y0 et y00par leurs expressions `a l’aide dez, z0 et z00, pour trouver quey est solution de (F) si et seulement si pour toutx >0, on a :
z00(ln(x)) +z(ln(x)) = 0
Autrement dit,yest solution de (F) si et seulement siz est solution surRde (H) z00(t) +z(t) = 0
3Classiquement, l’ensemble des solutions de (H) est le plan vectoriel r´eel engendr´e par les fonctions cosinus et sinus. L’ensemble des solutions de (F) est donc le plan vectoriel r´eel engendr´e par les fonctions cos◦ln et sin◦ln, soit :
{x7→acos(ln(x)) +bsin(ln(x)),(a, b)∈R2}
4 On cherche donc f sous la forme x 7→ acos(ln(x)) +bsin(ln(x)), pour certains r´eels a et b `a d´eterminer.
f(1) = 0 se traduit par la nullit´e de a, et f0(1) = 1 par b = 1. L’unique solution au syst`eme donn´e est donc sin◦ln.
