DM de MPSI2
Corrig´ e de devoir non surveill´ e
Points cosph´ eriques
Tout d’abord, `a partir des relations−−→
AA0 =12(−−→ AB+−→
AC) et−−→ BC=−−→
BA+−−→
BC, on obtient
AA0= 1 2
q
AB2+AC2+ 2−−→ AB·−→
AC et 1
2BC= 1 2
q
AB2+AC2−2−−→ AB·−→
AC
L’angle (−−→\ AB,−→
AC) ´etant aigu, on a−−→ AB·−→
AC >0, et doncAA0> BC2 . Cela prouve que l’intersection des sph`eres de diam`etres [BC] et [AA0] est bien un cercleCA. De mˆeme pour les deux autres cercles dont il est question, par sym´etrie des rˆoles jou´es parA, B etC.
Remarquons par ailleurs -ce sera utile pour la suite- que
AA02=1 4
AB2+AC2+ 2−−→
AA0+−−→
A0B·−−→
AA0+−−→
A0C
ce qui, apr`es simplifications (−−→
A0B+−−→
A0C=−→ 0 et−−→
A0B·−−→
A0C=−12BC2), donne
AA02= 1
2AB2+1
2AC2−1 4BC2 SoitM un point de CA. On a donc−−→
M B·−−→
M C= 0 et−−→
M A·−−→
M A0 = 0. Comme A0 est le centre de la sph`ere de diam`etre [BC], on aM A0= 12BC. De plus, on a
−−→AA0·−−→
M A0 = (−−→
AM+−−→
M A0)·−−→
M A0 =−−→
M A0·−−→
M A0= 1 4BC2 On a donc
M G2 = (1 3(−−→
M A+−−→
M B+−−→
M C))2= 1 9(−−→
M A+ 2−−→
M A0)2= 1 9(3−−→
M A0+−−→
A0A)2
= M A02+2 3
−−→M A0·−−→
A0A+1 9A0A2
= 1
4BC2−2 3 1
4BC2+1
9AA02= 1
12BC2+1 9A0A2
= 1
18 AB2+BC2+AC2
Par sym´etrie des rˆoles jou´es par A, B et C, et comme l’expression pr´ec´edente est inchang´ee si on permute A, B, C, on d´eduit que les points deCA,CB et CC sont `a ´egales distance (
q1
18(AB2+BC2+AC2)) deG, et sont donc situ´es sur une mˆeme sph`ere de centreG.
