DM de MPSI2
Corrig´ e de devoir non surveill´ e
Un Produit Infini
1
a Soitθ∈R\2πZ. Pour toutn∈N∗, sin(θ/2n)6= 0, donc la formule `a montrer a bien un sens.
Montrons-la par r´ecurrence (sur n) : elle est claire pourn= 1, puisque sin(θ) = 2 sin(θ/2) cos(θ/2).
Supposons-la v´erifi´ee `a un rangn∈N∗ fix´e, et montrons qu’elle demeure au rang suivant :
n+1
Y
k=1
cos θ
2k = cos θ 2n+1
n
Y
k=1
cos θ 2k
= cos θ
2n+1 · sin(θ) 2nsin2θn
(par hypoth`ese de r´ecurrence)
= cos θ
2n+1 · sin(θ) 2n+1sin2n+1θ cos2n+1θ
= sin(θ)
2n+1sin2n+1θ
La formule est donc bien v´erifi´ee pour toutn∈N∗.
b La d´erivabilit´e (et la nullit´e) de la fonction sinus en 0, et le fait que sin0(0) = cos(0) = 1, fournissent imm´ediatement : lim
x→0 sin(x)
x = 1.
c Soitθ∈R\2πZ:θ/2n tendant vers 0 lorsquentend vers l’infini, on a, en ´ecrivant sin(θ)
2nsin2θn = sin(θ)/θ sin2θn/(θ/2n), et d’apr`es les questions pr´ec´edentes :
nlim→ ∞ n
Y
k=1
cos θ
2k = sin(θ) θ .
d Soitθ∈2πZ, non nul : on aθ= 2kπ, pour un certain entier relatif non nulk. On peut ´ecrireksous la forme 2mp, o`um∈N, et o`upest un entier impair. On observe que
cos θ 2m+1 = 0, puisque 2k/2m+1=pest impair.
La suite de terme g´en´eral Qn
k=1cos2θk
est donc nulle `a partir d’un certain rang, elle converge bien vers 0(= (sin(θ)/θ)).
La formule reste valable siθ∈2πZ\ {0}.
Dans le cas o`uθ= 0, cette mˆeme suite est constante de valeur 1. Elle ne converge pas `a proprement parler vers sin(θ)/θ, qui n’est pas d´efini, mais vers lim
x→0 sin(x)
x = 1.
2Soitx∈]0, π/2[ : on a donc sin(x)>0 et tan(x)>0. Pour toutn∈N∗,x/2n ∈]0, π/2[, donc cos(x/2n)>0, sin(x/2n)>0, et tan(x/2n)>0.
Soitn∈N∗. En prenant le logarithme dans 1.a, pourθ=x, il vient :
n
X
k=1
ln cos x
2k
= ln(sin(x))−ln(2n)−ln(sin(x/2n)).
En d´erivant cette relation (valable pour toutx∈]0, π/2[) par rapport `a la variablex, il vient :
−
n
X
k=1
1 2ktan x
2k = 1
tan(x)− 1
2ntan(x/2n).
Or lim
y→0 tan(y)
y = 1, d’o`u, en faisant tendrenvers l’infini (et en ´ecrivant 2ntan(x/21 n) =tan(x/21/xn)/(x/2n)) :
nlim→ ∞ n
X
k=1
1 2k tan x
2k = 1 x− 1
tanx.
