Quelques problèmes relatifs à la dynamique des points vortex dans les équations d’Euler et de Ginzburg-Landau complexe

(1)

Quelques probl` emes relatifs ` a la dynamique des points vortex dans les ´ equations d’Euler

et de Ginzburg-Landau complexe

Evelyne Miot

Th`ese effectu´ee sous la direction de Didier Smets Laboratoire Jacques-Louis Lions

4 d´ecembre 2009

(2)

Pr´eambule

Le cadre g´ en´ eral : pourquoi ce titre ?

Deux équationsétudiées, essentiellement en dimension 2d’espace.

I Pour les fluides incompressibles non visqueux, les ´equations d’Euler incompressibles

∂tv+ (v· ∇)v =−∇p, divv = 0, v :R×R² →R² ou ∂tv+ div (v⊗v) =−∇p, divv = 0. (E)

I Pour les superfluides, une ´equation de Ginzburg-Landau complexe κ∂_tu+i∂_tu = ∆u+ 1

ε²u(1− |u|²), u :R+×R² →C, (C_ε) o`u

0< ε <1petit param`etre et0< κ <1.

Lorsqueκ= 0 : ´equation de Gross-Pitaevskii

(3)

Pr´eambule

Le cadre g´ en´ eral : pourquoi ce titre ?

Deux équationsétudiées, essentiellement en dimension 2d’espace.

I Pour les fluides incompressibles non visqueux, les ´equations d’Euler incompressibles

∂tv+ (v· ∇)v =−∇p, divv = 0, v :R×R² →R² ou ∂tv+ div (v⊗v) =−∇p, divv = 0. (E)

I Pour les superfluides, une ´equation de Ginzburg-Landau complexe κ∂_tu+i∂_tu = ∆u+ 1

ε²u(1− |u|²), u :R+×R² →C, (C_ε) o`u

0< ε <1petit param`etre et0< κ <1.

Lorsqueκ= 0 : ´equation de Gross-Pitaevskii i∂_tu = ∆u+ 1

ε²u(1− |u|²), u :R+×R² →C. (GP)

(4)

Pr´eambule

Lien entre les ´ equations : la transformation de Madelung

I (E) et (GP) pr´esentent des analogies au moins formelles.

Siu 6= 0, on ´ecritu =ρexp(iϕ) et on posev =−2∇ϕ :







∂_tρ²+ div (ρ²v) = 0

∂_tv+v· ∇v+∇

ρ²−1 ε²

= 2∇

∆ρ ρ

.

(E) apparaˆıt comme une limite incompressible ρ≡1 de (GP).

I Pour (Cε) on étudiera notamment le casκ=κε=oε(1) de sorte que l’analogie se poursuit lorsque ρ_ε'1. On étudiera aussi un cas où l’analogie se révèle fausse.

I Supercourantj(u) = (iu,∇u),défini même lorsqueu = 0. De plusj(ρeîϕ) =ρ²∇ϕ.Donc −2j(u)' −2∇ϕ=v siρ²'1.

(5)

Pr´eambule

Lien entre les ´ equations : la transformation de Madelung







∂_tρ²+ div (ρ²v) = 0

∂_tv+v· ∇v+∇

ρ²−1 ε²

= 2∇

∆ρ ρ

.

(6)

Pr´eambule

Lien entre les ´ equations : la transformation de Madelung







∂_tρ²+ div (ρ²v) = 0

∂_tv+v· ∇v+∇

ρ²−1 ε²

=2∇

∆ρ ρ

.

(7)

Pr´eambule

Lien entre les ´ equations : la transformation de Madelung







∂_tρ²+ div (ρ²v) = 0

∂_tv+v· ∇v+∇

ρ²−1 ε²

=2∇

∆ρ ρ

.

I Supercourantj(u) = (iu,∇u),d´efini mˆeme lorsqueu = 0.

De plusj(ρe^iϕ) =ρ²∇ϕ.Donc−2j(u)' −2∇ϕ=v siρ²'1.

(8)

Pr´eambule

Singularit´ es ponctuelles dans les solutions : les vortex

I ∀ε >0,∀d ∈R, (E) admet une solutionstationnaire, r´eguli`ere : v_ε,d^∗ (x) =ρE

|x|

ε d

2π x^⊥

|x|², 0≤ρE ≤1, ρE(0) = 0, ρE(+∞) = 1.

I ∀ε >0,∀d ∈Z, (Cε) admet une solutionstationnaire, r´eguli`ere : u_ε,d^∗ (z) =ρ_d

|z|

ε z

|z|

d

, 0≤ρ_d ≤1, ρ_d(0) = 0, ρ_d(+∞) = 1.

j(u_ε,d^∗ )(x) =ρ²_d |x|

ε

d x^⊥

|x|².

I Superpositions de vortex centr´es en des points z₁, . . . ,z_l v_ε^∗(z_i,d_i) =

l

X

i=1

v_ε,d^∗

i(x−z_i), u_ε^∗(z_i,d_i) =

l

Y

i=1

ρ_d_i

|z−z_i| ε

z−z_i

|z−zi| di

.

(9)

Pr´eambule

Singularit´ es ponctuelles dans les solutions : les vortex

|x|

ε d

2π x^⊥

|x|², 0≤ρE ≤1, ρE(0) = 0, ρE(+∞) = 1.

|z|

ε z

|z|

d

, 0≤ρ_d ≤1, ρ_d(0) = 0, ρ_d(+∞) = 1.

j(u_ε,d^∗ )(x) =ρ²_d |x|

ε

d x^⊥

|x|².

I Superpositions de vortex centr´es en des points z₁, . . . ,z_l v_ε^∗(z_i,d_i) =

l

X

i=1

v_ε,d^∗

i(x−z_i), u_ε^∗(z_i,d_i) =

l

Y

i=1

ρ_d_i

|z−z_i| ε

z−z_i

|z−zi| di

.

(10)

Pr´eambule

Singularit´ es ponctuelles dans les solutions : les vortex

|x|

ε d

2π x^⊥

|x|², 0≤ρE ≤1, ρE(0) = 0, ρE(+∞) = 1.

|z|

ε z

|z|

d

, 0≤ρ_d ≤1, ρ_d(0) = 0, ρ_d(+∞) = 1.

j(u_ε,d^∗ )(x) =ρ²_d |x|

ε

d x^⊥

|x|².

I Superpositions de vortex centr´es en des points z₁, . . . ,z_l

(11)

Pr´eambule

La vorticit´ e

Afin de d´ecrire les vortex, on introduit la notion de vorticit´e

Fluides (Euler) Superfluides (Gross-Pitaevskii) Tourbillon ω(v) = rot (v) Jacobien ω(u) = 1

2rot (j(u))

∂tω+ rot div (v⊗v) = 0 ∂tω+ rot div (∇u⊗ ∇u) = 0

∂_tω+v· ∇ω= 0 (. . .)

La pr´esence de points vortex dans le champ se traduit par la concentration de la vorticit´e en ces points : pour les superpositions de vortex,

ω_ε^∗(z_i,d_i)*α

l

X

i=1

d_iδ_z_i, ε→0, α=

(1 pour (E), πpour (GP).

(12)

Pr´eambule

La vorticit´ e

2rot (j(u))

∂_tω+v· ∇ω= 0 (. . .)

La pr´esence de points vortex dans le champ se traduit par la concentration de la vorticit´e en ces points : pour les superpositions de vortex,

l

X

i=1

(13)

Pr´eambule

La vorticit´ e

2rot (j(u))

∂_tω+v· ∇ω= 0 (. . .)

La pr´esence de points vortex dans le champ se traduit par laconcentration de la vorticit´e en ces points : pour les superpositions de vortex,

l

X

i=1

(14)

Pr´eambule

Dynamique des points vortex

Th´eor`eme (Equations d’Euler et de Gross-Pitaevskii)´

Si ωε(0)* α

l

X

i=1

diδ_z⁰

i & «données préparées».

Alors pour t >0, ωε(t,x)* α

l

X

i=1

diδ_z_i_(t),

o`u

˙

z_i(t) =βX

j6=i

d_j(z_i −z_j)^⊥

|z_i −zj|² , z_i(0) =z_i⁰, i = 1, . . . ,l, avec β= ¹ pour (E) et β= 2 pour (GP).

(15)

Pr´eambule

Objectif g´ en´ eral...et plan de l’expos´ e

Supposons que

ωtot(t,x)'

l

X

i=1

diδ_z_i_(t)+ω(t,x), où ω est régulière (au moins non atomique).

Nous aborderons les questions suivantes :

1 Pour (E), étude du système limite pour les points vortex z_i(t)et pour la partie régulière ω(t) en tant que tel.

2 Pour (C_ε), détermination du système limite pour les points vortex z_i(t)lorsqueω = 0, et étude de la convergence lorsqueε→0.

(16)

Pr´eambule

Objectif g´ en´ eral...et plan de l’expos´ e

Supposons que

ωtot(t,x)'

l

X

i=1

diδ_z_i_(t)+ω(t,x), où ω est régulière (au moins non atomique).

Nous aborderons les questions suivantes :

1 Pour (E), étude du système limite pour les points vortex z_i(t)et pour la partie régulière ω(t) en tant que tel.

2 Pour (C_ε), d´etermination du syst`eme limite pour les points vortex

(17)

Plan de l’expos´e

Plan de l’expos´ e

1 Interaction tourbillon born´e et points vortex dans les ´equations d’Euler en dimension deux

2 Une ´equation de Ginzburg-Landau complexe

(18)

Le syst`eme mixte Euler-points vortex Les ´equations d’Euler en dimension deux

Les ´ equations d’Euler en formulation tourbillon

I [Yudovich]. Existence et unicit´e globales de solutions faibles ω∈L^∞(R,L¹∩L^∞(R²)) `a ∂tω+v· ∇ω= 0.

I Formule de Biot-Savart. Grâce à divv = 0 et rotv =ω, v =K ∗ω, où K(x) = 1

2π x^⊥

|x|².

I R´egularit´e pour la vitesse(estimations de potentiel). ω∈L^∞(L¹∩L^∞)⇒v ∈L^∞∩L^∞(QL)

.

(i.e. sup

t

|v(t,x)−v(t,y)| ≤C|x−y|(1 +|ln|x−y||), ∀x,y∈R²).

I Méthode des caractéristiques(équation de transport). ω(t, φt(x))≡ω(0,x), où d

dtφt(x) =v(t, φt(x)), φ0(x) =x.

(19)

Les ´ equations d’Euler en formulation tourbillon

2π x^⊥

|x|².

I R´egularit´e pour la vitesse(estimations de potentiel). ω∈L^∞(L¹∩L^∞)⇒v ∈L^∞∩L^∞(QL)

.

(i.e. sup

t

(20)

Les ´ equations d’Euler en formulation tourbillon

2π x^⊥

|x|².

I R´egularit´e pour la vitesse(estimations de potentiel).

ω∈L^∞(L¹∩L^∞)⇒v ∈L^∞∩L^∞(QL)

.

(i.e. sup

t

(21)

Les ´ equations d’Euler en formulation tourbillon

2π x^⊥

|x|².

I R´egularit´e pour la vitesse(estimations de potentiel).

ω∈L^∞(L¹∩L^∞)⇒v ∈L^∞∩L^∞(QL).

(i.e. sup

t

I Méthode des caractéristiques(équation de transport).

ω(t, φt(x))≡ω(0,x), o`u d

(22)

Le syst` eme mixte Euler-points vortex

I Soientω ∈L^∞(L¹∩L^∞),d_i ∈R,z_i ∈R² et supposons que ω_tot =X

i

d_iδ_z_i +ω v_tot =X

i

d_i(x−z_i)^⊥

|x−zi|² +K ∗ω.

I [C. Marchioro & M. Pulvirenti]. D´ecouplage de l’´equation pourω_tot :







˙

z_i=K∗ω(t,z_i)+X

j6=i

d_jK(z_i−z_j)

∂tω+ (K ∗ωtot)· ∇ω= 0.

(EDP)

I Ou, en termes de caract´eristiques,







φ˙_t(x) =K ∗ω(t, φ_t(x))+X

i

d_iK(φ_t(x)−z_i(t)) ω(t, φ_t(x)) =ω(0,x).

(EDO)

I Existence globale avec φ(·,x)∈C¹,z_i ∈C¹ lorsque tous les d_i >0.

(23)

Le syst` eme mixte Euler-points vortex

i

d_i(x−z_i)^⊥

|x−zi|² +K ∗ω.

I [C. Marchioro &M. Pulvirenti]. D´ecouplage de l’´equation pourω_tot :







˙

z_i=K∗ω(t,z_i)+X

j6=i

d_jK(z_i−z_j)

∂tω+ (K ∗ωtot)· ∇ω= 0.

(EDP)







φ˙_t(x) =K ∗ω(t, φ_t(x))+X

i

d_iK(φ_t(x)−z_i(t)) ω(t, φ_t(x)) =ω(0,x).

(EDO)

(24)

Le syst` eme mixte Euler-points vortex

i

d_i(x−z_i)^⊥

|x−zi|² +K ∗ω.







˙

z_i=K∗ω(t,z_i)+X

j6=i

d_jK(z_i−z_j)

∂tω+ (K ∗ωtot)· ∇ω= 0.

(EDP)



φ˙t(x) =K ∗ω(t, φt(x))+X

i

diK(φt(x)−zi(t))

(EDO)

(25)

Le syst` eme mixte Euler-points vortex

i

d_i(x−z_i)^⊥

|x−zi|² +K ∗ω.







˙

z_i=K∗ω(t,z_i)+X

j6=i

d_jK(z_i−z_j)

∂tω+ (K ∗ωtot)· ∇ω= 0.

(EDP)







φ˙t(x) =K ∗ω(t, φt(x))+X

i

diK(φt(x)−zi(t)) ω(t, φ_t(x)) =ω(0,x).

(EDO)

(26)

Le système mixte Euler-points vortex Formulations eulérienne et lagrangienne pour le système mixte

Lien entre les formulations (EDP) et (EDO)

Un seul point vortex z(t) de masse d = 1. On posev =K ∗ω.

(1) (EDO) ⇒ (EDP).

Proposition (C. Lacave &E. M.)

Si (ω,z, φ)est solution de (EDO), alors R

ωϕ∈C¹(R+),∀ϕ∈C_c¹, et d

dt Z

R²

ωϕ= Z

R²

ω(∂_tϕ+ (v+K(x−z))· ∇ϕ)dx.

(2) (EDP)⇒ (EDO).

I Soit ω∈L^∞(L¹∩L^∞) une solutioneulérienne. Régularité de v =K ∗ω il existe un unique flot φ:R×R²\ {z₀}→R² associé àv+K(· −z).

I Mais rien n’assure a priori que ω(t) =ω0◦φ⁻¹_t .

(27)

Lien entre les formulations (EDP) et (EDO)

(1) (EDO) ⇒ (EDP).

dt Z

R²

ωϕ= Z

R²

ω(∂_tϕ+ (v+K(x−z))· ∇ϕ)dx.

(2) (EDP)⇒ (EDO).

I Soit ω∈L^∞(L¹∩L^∞) une solutioneulérienne. Régularité de v =K ∗ω il existe un unique flot φ:R×R²\ {z₀}→R² associé àv+K(· −z).

(28)

Lien entre les formulations (EDP) et (EDO)

(1) (EDO) ⇒ (EDP).

dt Z

R²

ωϕ= Z

R²

ω(∂_tϕ+ (v+K(x−z))· ∇ϕ)dx.

(2) (EDP)⇒ (EDO).

I Soit ω∈L^∞(L¹∩L^∞) une solutioneul´erienne.

R´egularit´e de v =K ∗ω il existe un unique flot

(29)

Lien entre les formulations (EDP) et (EDO)

(1) (EDO) ⇒ (EDP).

dt Z

R²

ωϕ= Z

R²

ω(∂_tϕ+ (v+K(x−z))· ∇ϕ)dx.

(2) (EDP)⇒ (EDO).

I Soit ω∈L^∞(L¹∩L^∞) une solutioneul´erienne.

Régularité de v =K ∗ω il existe un unique flot φ:R×R²\ {z₀}→R² associé àv+K(· −z).

(30)

I Il suffit de montrer que l’´equation de transportlin´eaire

∂_tµ+u· ∇µ= 0, u =v+K(· −z), µ∈L^∞(L¹∩L^∞), (TL) a une unique solution qui est alors n´ecessairementω₀◦φ⁻¹_t .

I L’unicité a lieu dès queu a la propriété de renormalisation, i.e.

µ est solution de (TL)⇒β(µ) est solution de (TL), ∀β ∈C¹(R).

Th´eor`eme (R. J. DiPerna & P. L. Lions, sans point vortex)

Tout u ∈L^∞(W_loc^1,1) à divergence nulle a la propriété de renormalisation.

I Dans le cadre du syst`eme mixte, u = K ∗ω

| {z }

L^∞(W_loc^1,1)

+ K(· −z).

| {z }

r´egulier en dehors de{z}, forme explicite

Th´eor`eme (C. Lacave & E. M. , avec point vortex)

v+K(· −z) a la propriété de renormalisation. Donc, siω est solution eulérienne, on aω(t) =ω0◦φ⁻¹_t .

(31)

Tout u ∈L^∞(W_loc^1,1)à divergence nulle a la propriété de renormalisation.

| {z }

L^∞(W_loc^1,1)

+ K(· −z).

| {z }

(32)

| {z }

L^∞(W_loc^1,1)

+ K(· −z).

| {z }

Th´eor`eme (^{C. Lacave} ^& E. M. , avec point vortex)

(33)

| {z }

L^∞(W_loc^1,1)

+ K(· −z).

| {z }

(34)

Le système mixte Euler-points vortex Unicité pour le système mixte Euler-points vortex

Unicit´ e pour le syst` eme mixte Euler-points vortex

Le cas général est un problème ouvert.

I Avec un seul point vortex z(t).

Une observation fondamentale de [C. Marchioro & M. Pulvirenti]. ω0≡αdans B(z(0),R0)⇒ω(t)≡αdans B(z(t),R(t)) ∀t ≥0. L’unicit´e d´ecoulera alors du fait que

K(· −z)· ∇ω= K_ε(· −z)

| {z }

troncature r´eguli`ere

·∇ω.

I Avec plusieurs points vortex.

Th´eor`eme (C. Lacave & E. M.)

Si ω∈L^∞ est initialement à support compact etconstant près de chaque point vortex, il existe une unique solution au système mixte avec cette donnée initiale.

(35)

Unicit´ e pour le syst` eme mixte Euler-points vortex

Une observation fondamentale de [C. Marchioro & M. Pulvirenti].

ω0≡αdans B(z(0),R0)⇒ω(t)≡αdans B(z(t),R(t)) ∀t ≥0.

L’unicit´e d´ecoulera alors du fait que

K(· −z)· ∇ω= K_ε(· −z)

| {z }

·∇ω.

Si ω∈L^∞ est initialement à support compact etconstant près de chaque point vortex, il existe une unique solution au système mixte avec cette donnée initiale.

(36)

Unicit´ e pour le syst` eme mixte Euler-points vortex

Une observation fondamentale de [C. Marchioro & M. Pulvirenti].

ω0≡αdans B(z(0),R0)⇒ω(t)≡αdans B(z(t),R(t)) ∀t ≥0.

L’unicit´e d´ecoulera alors du fait que

K(· −z)· ∇ω= K_ε(· −z)

| {z }

·∇ω.

∞

(37)

Le syst`eme mixte Euler-points vortex Evolution du support du tourbillon´

Evolution de la taille du support du tourbillon ´

(H) ω_tot =ω+dδ_z, ω ∈L^∞(L¹∩L^∞), suppω₀compact.

Cadre classique o`u d = 0.

I Vitesse des trajectoires born´ee taille de supp ω(t) est au plusO(t).

I [C. Marchioro], [P. Gamblin, D. Iftimie& T. Sideris]. Si de plusω0≥0, on a la borneO((tlnt)^1/4) : grˆace `a la conservation du centre d’inertie et moment angulaire

Z

xω(t,x)dx, Z

|x|²ω(t,x)dx.

Cas o`u d 6= 0 et ω₀≥0 v´erifient (i)d ≥0 ou (ii)d <0 et|d|>R ω₀.

Th´eor`eme (E. M.)

I La trajectoire de z(t) est born´ee.

I La taille de supp ω(t) est contrˆol´ee par O(t^1/4ln lnt).

(38)

Evolution de la taille du support du tourbillon ´

Z

xω(t,x)dx, Z

|x|²ω(t,x)dx.

Th´eor`eme (E. M.)

(39)

Evolution de la taille du support du tourbillon ´

Z

xω(t,x)dx, Z

|x|²ω(t,x)dx.

Cas o`u d 6= 0 et ω₀≥0 v´erifient (i)d ≥0

ou (ii)d <0 et|d|>R ω₀.

Th´eor`eme (E. M.)

(40)

Evolution de la taille du support du tourbillon ´

Z

xω(t,x)dx, Z

|x|²ω(t,x)dx.

Th´eor`eme (E. M.)

(41)

Evolution de la taille du support du tourbillon ´

Z

xω(t,x)dx, Z

|x|²ω(t,x)dx.

Th´eor`eme (E. M.)

(42)

Le syst`eme mixte Euler-points vortex Nappes de tourbillon et points vortex

Nappe de tourbillon et point vortex

ωtot(t) =ω(t) +dδ_z(t), ω(t)∈L¹∩L^∞?

On ne peut d´efinir la trajectoirez(t) que siω∈L^∞(L¹∩L^p) avecp >2.

En de¸ca de cette régularité il faut revenir à l’équation pourωtot.

Formulation généralisée des équations d’Euler ([J. M. Delort], [S. Schochet], [R. J. DiPerna &A. Majda], [F. Poupaud]...) On pose

Z

v·∇ϕω_tot(x)dx = 1 2

Z Z

∇ϕ(x)−∇ϕ(y)

·Kb(x−y)ωtot(x)ωtot(y)dx dy, où Kb(x) =χx6=0K(x), quantité finie dès que ωtot ∈ M(R²) et consistante avec la formule de Biot-Savart.

(43)

Nappe de tourbillon et point vortex

ωtot(t) =ω(t) +dδ_z(t), ω(t)∈L¹∩L^∞?

On ne peut d´efinir la trajectoirez(t) que siω∈L^∞(L¹∩L^p) avecp >2.

En de¸ca de cette régularité il faut revenir à l’équation pourωtot. Formulation généralisée des équations d’Euler ([J. M. Delort], [S. Schochet], [R. J. DiPerna &A. Majda], [F. Poupaud]...) On pose

Z

v·∇ϕω_tot(x)dx = 1 2

Z Z

∇ϕ(x)−∇ϕ(y)

·Kb(x−y)ωtot(x)ωtot(y)dx dy, où Kb(x) =χx6=0K(x), quantité finie dès que ω_tot ∈ M(R²) et consistante avec la formule de Biot-Savart.

(44)

I [J. M. Delort] Existence globale pour ω_tot∈H⁻¹(R²)∩ M(R²), `a support compact et positive.

I [F. Poupaud] Existence globale d’une solution généralisée pour ωtot ∈ M(R²) positive. Fait apparaˆıtre unemesure de défaut concentrée sur le support atomique de ωtot.

Th´eor`eme (E. M.)

Soient ω₀≥0appartenant `a H_c⁻¹∩ M(R²),d ≥0et z₀ ∈R² n’appartenant pas au support de ω0. Il existe une solution globale

ωtot =ω+dδz aux équations d’Euler généralisées,sans mesure de défaut, avec ω∈L^∞(H⁻¹) etz ∈C^1/2, telle queω_tot(0) =ω₀+dδ_z₀.

Remarque

On ne sait pas si supp(ω)∩ {z(t)}=∅`a t >0.

(45)

I [F. Poupaud]Existence globale d’une solution généralisée pour ωtot ∈ M(R²) positive. Fait apparaˆıtre unemesure de défaut concentrée sur le support atomique de ωtot.

Th´eor`eme (E. M.)

Soient ω₀≥0appartenant `a H_c⁻¹∩ M(R²),d ≥0et z₀ ∈R² n’appartenant pas au support de ω0. Il existe une solution globale

Remarque

On ne sait pas si supp(ω)∩ {z(t)}=∅`a t >0.

(46)

I [F. Poupaud]Existence globale d’une solution généralisée pour ωtot ∈ M(R²) positive. Fait apparaˆıtre unemesure de défaut concentrée sur le support atomique de ωtot.

Th´eor`eme (E. M.)

Soientω₀≥0appartenant `a H_c⁻¹∩ M(R²),d ≥0et z₀ ∈R² n’appartenant pas au support de ω0. Il existe une solution globale

Remarque

(47)

Plan de l’expos´e

Plan de l’expos´ e

1 Interaction vorticit´e et points vortex dans les ´equations d’Euler en dimension deux

2 Une ´equation de Ginzburg-Landau complexe

(48)

L’´equation de Ginzburg-Landau complexe Probl`eme de Cauchy

Energie de Ginzburg-Landau (N ´ ≥ 2)

κ∂tu+i∂tu= ∆u+ 1

ε²u(1− |u|²), u:R×R^N →R² 'C.

Gross-Pitaevskii Ginzburg-Landau Parabolique

i∂tu = ∆u+ 1

ε²u(1− |u|²) (GP) κ∂tu= ∆u+ 1

ε²u(1− |u|²) (P).

Energie de Ginzburg-Landau´ E_ε(u) =

Z

R^N

h|∇u|²

2 + (1− |u|²)² 4ε²

i dx =

Z

R^N

e_ε(u)dx.

d

dtE_ε(u(t)) = 0 d

dtE_ε(u(t)) =−κ Z

R^N

|∂_tu|²≤0.

(49)

Energie de Ginzburg-Landau (N ´ ≥ 2)

κ∂tu+i∂tu= ∆u+ 1

ε²u(1− |u|²), u:R×R^N →R² 'C.

Gross-Pitaevskii Ginzburg-Landau Parabolique

i∂tu = ∆u+ 1

ε²u(1− |u|²) (GP) κ∂tu= ∆u+ 1

ε²u(1− |u|²) (P).

´Energie de Ginzburg-Landau E_ε(u) =

Z

R^N

h|∇u|²

2 + (1− |u|²)² 4ε²

i dx =

Z

R^N

e_ε(u)dx.

d

dtE_ε(u(t)) = 0 d

dtE_ε(u(t)) =−κ Z

R^N

|∂_tu|²≤0.

(50)

Probl` eme de Cauchy dans l’espace d’´ energie finie E

I Petites dimensions 2≤N ≤4.[P. G´erard]pour (GP).

E ⊂X¹(R^N) +H¹(R^N), X¹={u ∈L^∞t.q.∇u∈L²}.

Distance sur E, problème de Cauchy globalement bien posé (pour petites données si N = 4).

I Dimension N quelconque.[J. Ginibre & G. Velo].

Pour équations de Ginzburg-Landau complexes générales (non variationnelles), existence globale d’une solution dans

C(R+,H_loc¹ ∩L⁴_loc). Pas d’unicit´e.

Th´eor`eme (E. M.)

Soient N ≥1 et u₀ ∈ E. Il existe une solution u∈C(R+,H_loc¹ )à (C_ε), dont l’énergie est finie et décroissante, telle que u(0) =u0.

(51)

Probl` eme de Cauchy dans l’espace d’´ energie finie E

E ⊂X¹(R^N) +H¹(R^N), X¹={u ∈L^∞t.q.∇u∈L²}.

I Dimension N quelconque.[J. Ginibre &G. Velo].

Th´eor`eme (E. M.)

Soient N ≥1 et u₀ ∈ E. Il existe une solution u∈C(R+,H_loc¹ )à (C_ε), dont l’énergie est finie et décroissante, telle que u(0) =u0.

(52)

Probl` eme de Cauchy dans l’espace d’´ energie finie E

E ⊂X¹(R^N) +H¹(R^N), X¹={u ∈L^∞t.q.∇u∈L²}.

I Dimension N quelconque.[J. Ginibre &G. Velo].

Th´eor`eme (E. M.)

(53)

L’´equation de Ginzburg-Landau complexe Dynamique des points vortex

Convergence de (C

_ε

) - Dynamique des points vortex en dimension deux

I Rappel sur les superpositions de vortex (zi,di),i = 1, . . . ,l u^∗_ε(z_i,d_i)(z) :=

l

Y

i=1

ρ_d_i

|z−z_i| ε

z−z_i

|z−z_i| di

→

l

Y

i=1

z −z_i

|z −z_i| di

,

o`u

ρ_d_i :R+→[0,1), ρ_d_i(0) = 0, ρ_d_i(+∞) = 1.

I La vorticit´e v´erifie

ω(u^∗_ε(zi,di))* π

l

X

i=1

diδzi.

(54)

L’´equation de Ginzburg-Landau complexe Dynamique des points vortex

E_ε u_ε^∗(z_i,d_i),B_R

=π

l

X

i=1

d_i²|lnε|+W(z_i,d_i) +πd²lnR+C_d_i_,N+o_ε(1),

o`u d =P d_i et

W =W(z_i,d_i) =−πX

k6=l

d_kd_lln|z_k−z_l|, est «essentiellement»minimisante si d_i =±1.

Définition (données très bien préparées)

Lorsque d_i =±1, on dit que la famille (u_ε)∈H_loc¹ est très bien préparée par rapport à(zi,di) si

(i)ω(uε)* πX

i

diδzi, (ii)Eε(uε)−Eε(u_ε^∗(zi,di)) =oε(1).

(i)&(ii) ⇒ eε(uε)

|lnε| * πX

i

δzi.