Syst` eme ` a deux poulies

Statique Manip 1

x x

1 2

α

Fig.1 – Sch´ema de la balance

Pour chaque position x1, on mesure l’angleαn´ecessaire pour que le syst`eme soit en ´equilibre.

x1 [cm] P1[N] x1·P1[N m] x2 [cm] P2[N] x2·P2[N m] α[^◦] x2·P2·sinα[N m]

9 0.98 0.088 18 0.49 0.088 90 0.088

15 0.49 0.074 18 0.49 0.088 60 0.076

12 0.49 0.059 18 0.49 0.088 45 0.062

Tab.1 – Mesures effectu´ees

Nous constatons que le moment total est bien nul ; nous remarquons ´egalement que l’´egalit´e est x1P1=x2P2 sinα. Les petites d´eviations proviennent en grande partie de la mesure de l’angle α.

Manip 2

Syst` eme ` a deux poulies

Pour faire un bilan des forces, nous isolons une partie du syst`eme : la poulie B et la masse m (c`ad ce qui se trouve en dessous du pointill´e Fig 2). Ce sous-syst`eme est en ´equilibre : F1+F2 =m g (en n´egligeant la masse de la poulie). Le syst`eme est statique, et doncF1=F2. La forceFAvaut donc ¹₂m g.

Dans le cas exp´erimental, la valeur mesur´ee correspond tout `a fait `a la valeur attendue : le dyna- mom`etre donneFA=¹₂m g.

Syst` eme ` a quatre poulies

A nouveau nous isolons un sous-syst`eme pour ´equilibrer les forces (voir pointill´esFig 2). Ce sous- syst`eme, form´e de la massemet de l’ensemble de pouliesB est en ´equilibre. On a donc :

4

X

i=1

F_i

=|m g|

Le (sous-)syst`eme est statique, lesFi sont donc ´egales et on en tire queFA=¹₄m g.

Notre mesure correspond tout `a fait `a la valeur attendue : le dynamom`etre donneFA=¹₄m g.

Sur http://www.walter-fendt.de/ph14f/pulleysystem_f.htmvous trouverez un applet java qui montre en temps r´eel la force n´ecessaire pour soutenir un syst`eme `a nombre de poulies variable.

1

F

m B

A A

F₁ F₂

F

m A

A

B

F F

F F

1 2

3 4

Fig.2 – Sch´ema 2 et 4 poulies

Fig.3 – Montage utilis´e

2

Manip 3

La forme g´eom´etrique est divis´ee en 5 objets g´eom´etriques simples. Leur centre de gravit´e et leur aire sont not´eesG_iet A_i (avec i=1, ..., 5).

M´ ethode it´ erative graphique

On calcule le centre de gravit´eG_S1de la somme des objets 1 et 2. Puis, on d´etermine de fa¸con it´erative les centres de gravit´eG_Sides objets constitu´es par la somme de l’objet i+1 et du groupe d’objets ayant pour centre de gravit´eG_Si−1. LaFig4 pr´esente la recherche du centre de gravit´e par cette m´ethode.

Recherche de GS1

La formule g´en´erale suivante permet de calculer le centre de gravit´eGde plusieurs objets de masse m_i et de centre de gravit´eG_i (O est un point quelconque) :

−−→ OG=

P−−→

OGi·mi

Pmi

(1) Dans le cas o`u l’on a que les 2 objets 1 et 2, on obtient :

−−−→OG_S1=

−−→OG₁·m₁+−−→

OG₂·m₂ m1+m2

(2) En choisissantO=G₂, l’expression se simplifie `a

−−−−→

G2GS1=

−−−→G2G1·m1

m1+m2

(3) Comme le solide est homog`ene, on peut remplacer les masses mi des objets par les airesAi corres- pondantes. Deplus,−−−−→

G2GS1et−−−→

G2G1 sont colin´eaires (GS1se trouve sur la droite (G2G1)). On peut donc raisonner sur des distances plutˆot que sur des vecteurs. Ainsi,

G2GS1= G₂G₁·A₁ A1+A2

= 7.4·14.06

14.06 + 18.2 (4)

On trouve G₂G_S1= 3.2 cm.

Recherche de GS2

G₃G_S2=G₂G_S1·A_S1 A3+AS1

(5) o`u A_S1 est l’aire de l’objet ayant pour centre de gravit´eG_S1. On trouveG₃G_S2 = 5.6 cm. On obtient ainsi de suite,G₄G_S3= 3.75 cm et G₅G_S4= 3.8 cm.

M´ ethode analytique

On choisit un rep`ere orthonorm´e centr´e enG2 (Son origine O est ´egale `aG2), comme indiqu´e sur la Fig4. On mesure alors les coordonn´ees des vecteurs−−→

0Gi :

−−→0G1= (−2; 7),−−→

0G2= (0; 0),−−→

0G3= (6,8; 0,4), −−→

0G4= (2,3;−2,5), −−→

0G5= (2,5;−5,7)

−−→ OG=

P−−→

OGi·Ai

PA_i (6)

OGx=

POG_ix·A_i PAi

= −2·14,06 + 6,8·15,2 + 2,3·13.44 + 2.5·49.26

14,06 + 18,2 + 15,2 + 13.44 + 49.26 = 2,1 (7) OGy=

POGiy·Ai

PA_i = 7·14,06 + 0,4·15,2 +−2.5·13.44 +−5,7·49.26

14,06 + 18,2 + 15,2 + 13.44 + 49.26 =−1,9 (8) On obtient−−→

OG= (2.1;−1.9).

3

G

G

G

G

G

G

G

G

G

Y (cm)

X (cm)

Fig.4 – Recherche du centre de gravit´e

4