Devoir surveill´ e n˚1

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1 − 2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir surveill´ e n˚1

Dur´ee : 3 heures

L’usage de la calculatrice est interdit.

Le bar`eme prendra significativement en compte :

• la pr´esentation,

• la clart´e des explications,

• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,

• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.

Rappel : La seule m´ethode accept´ee pour r´esoudre un syst`eme lin´eaire est celle du pivot de Gauß.

Pour r´esoudre un syst`eme lin´eaire, on commencera donc par le transformer en un syst`eme lin´eaire ´echelonn´e ´equivalent, en appliquant successivement des op´erations ´el´ementaires.

Exercice 1 : R´esolution d’une ´equation affine `a param`etre Soit a∈R. R´esoudre l’´equation (Ea) d´efinie par :

(E_a) : (a−1)x+a= 1.

Indication : On pourra distinguer plusieurs cas, suivant la valeur du param`etre a.

Exercice 2 : Syst`eme lin´eaire `a 2 inconnues et g´eom´etrie dans le plan Soit (S) le syst`eme lin´eaire d´efini par :

(S) :













 1

3x + 1

2y = 3

x − 3y = 0

−3x + 4y = −10 .

1. D´eterminer l’ensemble solution Sol_(S) du syst`eme (S).

2. (a) D´emontrer que pour tout x, y ∈R : 1

3x+ 1

2y = 3 ⇐⇒ y=−2 3x+ 6.

1

(b) D´emontrer que pour tout x, y ∈R :

x−3y= 0 ⇐⇒ y = 1 3x.

(c) D´emontrer que pour tout x, y ∈R :

−3x+ 4y =−10 ⇐⇒ y= 3 4x− 5

2.

(d) Proposer alors une interpr´etation g´eom´etrique de l’ensemble Sol_(S), sous forme de phrase.

Indication : On pourra introduire un rep`ere (O;−→ i ,−→

j ) du plan.

(e) Faire un graphique illustrant la phrase ´ecrite en (d) et v´erifier la coh´erence du gra- phique avec le r´esultat obtenu en 1.

Exercice 3 : R´esolution d’un syst`eme lin´eaire 3×3 R´esoudre le syst`eme lin´eaire (S) d´efini par :

(S) :

















 1

2x − 1

2y + z = −1

−x + y + 2z = 1 2

3x − 2

3y + 5

2z = −1 .

Exercice 4 : R´esolution d’un syst`eme lin´eaire 4×3 R´esoudre le syst`eme lin´eaire (S) d´efini par :

(S) :











x + 2y + 3z = −1

4x + 5y + 6z = 0

7x + 8y + 9z = 1

10x + 11y + 12z = 2 .

Exercice 5 : R´esolution d’un syst`eme lin´eaire 4×4 R´esoudre le syst`eme lin´eaire (S) d´efini par :

(S) :











2a + b + c − d = 3

4a + 2b + c + d = 8

−4a + 3b + c + d = 1

−2a + 4b + c + d = 4 .

2

Exercice 6 : R´esolution d’un syst`eme lin´eaire 2×2 `a param`etre Soit m∈R. R´esoudre le syst`eme lin´eaire (Sm) d´efini par :

(Sm) :

mx − (2m−1)y = 1

x − my = m .

Indication : On pourra distinguer plusieurs cas, suivant la valeur du param`etre m.

Exercice 7 : R´esolution d’une ´equation polynomiale de degr´e 3 Le but de cet exercice est de r´esoudre l’´equation (E), d´efinie par :

(E) : x³−2x²−4x+ 3 = 0.

1. Le nombre 3 est-il solution de (E) ?

2. Soitx∈R et soient a, b, c∈R. D´evelopper, r´eduire et ordonner l’expression : (x−3)(ax² +bx+c)

i.e. d´evelopper (x−3)(ax² +bx+c), puis ´ecrire le r´esultat du d´eveloppement sous la forme :

x³ +x²+x+

o`u lesd´esignent des nombres r´eels ind´ependants de xqui sont `a d´eterminer, en fonction dea, b, c.

3. D´emontrer qu’il existe a, b, c∈R tels que pour toutx∈R : (x−3)(ax²+bx+c) =x³−2x²−4x+ 3.

Indication : On pourra introduire un syst`eme lin´eaire.

4. R´esoudre alors l’´equation (E).

Exercice 8 : Un probl`eme d’Euler

J´er´emy, Louis et S´ebastien jouent ensemble. Ils conviennent qu’`a chaque partie, le perdant dou- blera la somme que poss`ede chacun des deux autres joueurs. Ils se retirent du jeu avec 24 euros chacun. On demande combien chacun avait d’argent en venant jouer, sachant qu’ils ont jou´e trois parties et que chacun d’eux a perdu une partie.

Indication : On pourra noter :

• x₁ la somme qu’avait au d´epart le joueur qui a perdu la premi`ere partie ;

• x₂ la somme qu’avait au d´epart le joueur qui a perdu la deuxi`eme partie ;

• x3 la somme qu’avait au d´epart le joueur qui a perdu la troisi`eme partie

et commencer par traduire l’´enonc´e en un syst`eme lin´eaire `a 3 ´equations, d’inconnue(x₁, x₂, x₃).

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Probl`eme : Trouver deux nombres r´eels connaissant leur somme et leur produit Partie A : ´Etude g´en´erale

Soient a et b deux nombres r´eels. On pose s = a+b et p =ab et on consid`ere l’´equation (E) d´efinie par :

(E) : x²−sx+p= 0.

L’objectif de cette partie est de montrer que l’ensemble {a, b} et l’ensemble solution de (E), not´e Sol_(E), sont ´egaux, i.e. que :

(∗) {a, b}=Sol_(E).

1. D´emontrer que {a, b} ⊂Sol(E), i.e. : prouver que a et b sont solutions de l’´equation (E).

2. D´emontrer que Sol_(E) ⊂ {a, b}, i.e. prouver que si x est solution de (E), alors :







x=a ou

x=b .

Indication : On pourra commencer par d´evelopper, r´eduire et ordonner l’expression : (x−a)(x−b).

Conclusion : De 1. et 2., on d´eduit le r´esultat (∗).

Partie B : Applications

Dans cette partie, on se propose d’appliquer le r´esultat (∗) `a des situations concr`etes. 1. D´eterminer l’ensemble des couples (a, b)∈R tels que :

a+b = 31 et ab= 240.

2. D´emontrer qu’il n’existe aucun couple (a, b) de nombres r´eels tel que : a+b= 16 et ab= 65.

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