L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1 − 2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚4
Dur´ee : 3 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Exercice 1 : R´esolution d’un syst`eme lin´eaire `a param`etre
1. Soitλ un nombre r´eel fix´e. D´eterminer le rang et l’ensemble solution du syst`eme suivant d’inconnue
x y z
o`u x, y, z ∈R.
(S) :
−λx + y + 2z = 0 x + (1−λ)y + z = 0
2x + y − λz = 0
Indication : On pourra distinguer plusieurs cas, suivant la valeur du param`etre λ.
Exercice 2 : ´Etude d’une fonction d´efinie par morceaux au voisinage d’un point Soit f la fonction d´efinie par :
f:R→R, x7→
|x2−5x+ 4|
x−1 six <1
−3 six= 1 3 ln(x)
x−1 six >1.
1. ´Etudier la limite ´eventuelle de f en 1−. 2. ´Etudier la limite ´eventuelle de f en 1+. 3. La fonctionf est-elle continue en 1 ?
1
Exercice 3 : ´Etudes de limites de fonctions
Etudier les limites ´´ eventuelles de : a) 3x4+x3+ 4x+ 1
2x2+ 3x lorsque x tend vers +∞ (respectivement 0) ; b) ex
x2 − x
ex2 lorsque x tend vers +∞; c) cos(3x)−1
xsin(2x) lorsque x tend vers 0.
Exercice 4 : ´Etude de deux suites adjacentes
Soit (un)n∈N∗ la suite d´efinie par :
∀n∈N∗ un =
n
X
k=1
(−1)k+1
k = 1− 1 2 +1
3 −1
4 +. . .+ (−1)n+1
n .
On introduit deux suites (an)n∈N∗ et (bn)n∈N∗ en posant :
∀n ∈N∗ an =u2n= 1− 1 2 +1
3 −1
4 +. . .+ 1
2n−1− 1 2n.
∀n ∈N∗ bn =u2n+1 = 1− 1 2+ 1
3− 1
4+. . .+ 1
2n−1 − 1
2n + 1 2n+ 1. 1. Montrer que la suite (an)n∈N∗ est croissante et que la suite (bn)n∈N∗ est d´ecroissante.
2. Montrer que les deux suites (an)n∈N∗ et (bn)n∈N∗ sont adjacentes.
3. Conclure quant au comportement asymptotique des suites (an)n∈N∗ et (bn)n∈N∗. 4. Que peut-on en d´eduire pour la suite (un)n∈N∗?
Probl`eme : Valeurs approch´ees de la solution d’une ´equation mettant en jeu ln Ce probl`eme porte sur la r´esolution de l’´equation (E) d´efinie sur ]0; +∞[ par :
(E) 7
2−ln(x) = x.
La calculatrice ´etant interdite, on fournit les encadrements de ln(2) et ln(3) suivants : 0,6<ln(2)<0,7 et 1<ln(3)<1,1.
2
Partie I − Trois ´etudes de fonctions
1. Soitf la fonction d´efinie par :
f: ]0,+∞[→R, x7→ 7
2 −ln(x)
et on note Cf la courbe repr´esentative de f dans un rep`ere R fix´e du plan.
(a) D´eterminer le sens de variation de la fonction f sur ]0,+∞[.
(b) En utilisant les encadrements de ln(2) et ln(3) fournis dans l’´enonc´e, montrer que l’intervalle [2,3] est stable par f, i.e. que :
∀x∈[2,3] f(x)∈[2,3].
(c) ´Etudier les limites ´eventuelles en 0+ et en +∞ def. (d) Dresser le tableau de variations de f.
(e) Pr´eciser l’ordonn´ee du point A d’abscisse 1 de Cf et tracer l’allure de la courbe Cf, apr`es avoir plac´e le point A.
2. Soitg la fonction d´efinie par :
g: [1,+∞[→R, x7→ln(x)−x et on note Cg la courbe repr´esentative de g dans le rep`ere R.
On admet que la fonction g est strictement d´ecroissante sur [1,+∞[.
(a) ´Etudier la limite ´eventuelle deg en +∞ et l’existence d’une asymptote oblique `aCg en +∞.
(b) D´eterminer l’imageg([1,+∞[) de [1,+∞[ par la fonction g.
(c) En d´eduire que pour tout X ∈[1,+∞[ :
ln(X)≤X−1.
3. Soith la fonction d´efinie par :
h: ]0,+∞[→R, x7→f(x)−x.
(a) D´eterminer le sens de variation de la fonction h sur ]0,+∞[.
(b) En d´eduire que l’´equation (E) admet une unique solution dans ]0,+∞[.
On notera α cette solution dans la suite.
(c) Dresser le tableau de signes de la fonction h.
(d) Pr´eciser la position relative de la courbe Cf et de la droite ∆ d’´equationy=x dans le rep`ere R.
(e) En utilisant la question I-1.(b), montrer que h(2)≥0 et queh(3)≤0 et en d´eduire queα ∈[2,3].
3
Partie II − Une in´egalit´e
1. D´eduire de la question I-2.(c) que pour tout x, y ∈[2,3] tels quex≤y : 0≤ln(y)−ln(x)≤ 1
x(y−x)≤ 1
2(y−x).
2. Montrer que que pour tout x, y ∈[2,3] tels quex≥y : 0≤ln(x)−ln(y)≤ 1
y(x−y)≤ 1
2(x−y).
3. D´eduire des deux questions pr´ec´edentes que :
∀x, y ∈[2,3] |f(x)−f(y)| ≤ 1
2 |x−y|.
Partie III− Etude d’une suite´
Soit (un)n∈N la suite d´efinie par u0 = 2 et la relation de r´ecurrence un+1 =f(un) valable pour tout n ∈N.
1. `A l’aide de la question I-1.(b), d´emontrer que pour tout n ∈N, un ∈[2,3].
2. `A l’aide de la question II-3, d´emontrer que pour tout n∈N :
|un+1−α| ≤ 1
2 |un−α|.
3. En d´eduire que pour tout n ∈N:
|un−α| ≤ 1
2 n
|u0−α|.
4. Conclure quant au comportement asymptotique de la suite (un)n∈N. 5. R´esoudre l’in´equation :
1 2
n
≤10−20
d’inconnue n ∈ N et en d´eduire une valeur de n ∈ N telle que l’´ecart entre un et α est inf´erieur ou ´egal `a 10−20.
4
