Devoir surveill´ e n˚4

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir surveill´ e n˚4

Dur´ee : 1 heure

L’usage de la calculatrice est interdit.

Le bar`eme prendra significativement en compte :

• la pr´esentation,

• la clart´e des explications,

• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,

• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.

Exercice 1

1. D´emontrer qu’il existe deux r´eels A et B tels que :

∀t ∈R\ {−1,0} 1

t²+t = A t + B

t+ 1.

2. Calculer l’int´egrale I = Z 2

1

1 t²+t dt.

3. Calculer l’int´egrale J = Z 2

1

ln(1 +t) t² dt.

4. Calculer l’int´egrale K = Z

√ 2 1

1

u+u³ du, avec le changement de variable u=√ t.

Exercice 2

1. Rappels sur la fonction tangente

(a) Rappeler bri`evement pourquoi la fonction tangente, not´ee tan, est d´efinie et d´erivable suri

−π 2,π

2 h

et d´emontrer que :

∀x∈i

−π 2,π

2 h

tan⁰(x) = 1 + tan²(x).

(b) Montrer que :

∀x∈h 0,π

4 i

0≤tan(x)≤1.

1

2. Etude d’une suite d´´ efinie `a l’aide d’int´egrales Pour tout n∈N^∗, on pose :

I_n= Z ^π₄

0

tanⁿ(x)dx.

(a) Soit n∈N^∗. Justifier l’existence de In. (b) Calculer I₁ etI₂.

(c) Sans calculerI_n(n∈N^∗), d´emontrer que la suite (I_n)n∈N^∗est positive et d´ecroissante.

Que peut-on en d´eduire ?

(d) Soit n∈N^∗. Soit g_n la fonction d´efinie par : g_n: i

−π 2,π

2

h→R, x 7→tanⁿ⁺¹(x).

Justifier bri`evement que gn est d´erivable sur i

−π 2,π

2 h

et calculer sa d´eriv´ee. En d´eduire que :

In+In+2 = 1 n+ 1. (e) D´emontrer que :

∀n ∈N^∗ 1

2(n+ 1) ≤In≤ 1 n+ 1.

(f) Conclure quant au comportement asymptotique de la suite (I_n)n∈N^∗.

3. Algorithme de calcul

Soit n ≥ 2 un nombre entier fix´e. Recopier l’algorithme de calcul de I_2n suivant, en compl´etant les parties encadr´ees.

x←−

pour k allant de `a faire









x←− −x

2