Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚4
Lundi 27 janvier, de 13h `a 15h
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Questions de cours
1. ´Enoncer le th´eor`eme de la bijection.
2. ´Enoncer le th´eor`eme sur la d´erivabilit´e et la d´eriv´ee d’une fonction r´eciproque.
3. Rappeler la construction de la fonction arcsinus, ´enoncer ses propri´et´es et d´emontrer les r´esultats concer- nant sa d´erivabilit´e et sa d´eriv´ee.
Exercice 1 (Simplification de Arcsin(sin(x))pour tout x∈[0,2π[) 1. S’aider du cercle trigonom´etrique pour conjecturer une simplification de
Arcsin(sin(x)) pour toutx∈[0,2π[. On distinguera plusieurs cas.
2. D´emontrer la conjecture ´enonc´ee `a la question 1.
Exercice 2 (Arctan(sh(x)) = 2Arctan(ex)−π2 pour tout x∈R) On fixe un rep`ere (O;−→i ,−→j) du plan.
1. Calculer Arctan(0) et Arctan(1).
2. Soit la fonction
f:R→R; x7→Arctan(ex) et soitCf sa courbe repr´esentative.
(a) D´emontrer quef est d´erivable surR.
(b) Calculerf′(x) pour toutx∈R.
(c) Donner une ´equation de la tangente `aCf au point d’abscisse 0.
(d) ´Etudier les variations de f.
(e) ´Etudier la limite ´eventuelle de f(x) quandxtend vers−∞et la limite ´eventuelle de f(x) quandx tend vers +∞, puis interpr´eter g´eom´etriquement les r´esultats obtenus.
(f) Tracer l’allure de la courbeCf. 3. Soit la fonction
g:R→R; x7→Arctan(sh(x)) et soitCgsa courbe repr´esentative.
(a) D´emontrer queg est d´erivable surR.
(b) Calculerg′(x) pour toutx∈R.
(c) ´Etudier la parit´e deg, puis interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat obtenu.
(d) ´Etudier la limite ´eventuelle de g(x) quand xtend vers−∞ et la limite ´eventuelle de g(x) quandx tend vers +∞, puis interpr´eter g´eom´etriquement les r´esultats obtenus.
4. D´emontrer que :
∀x∈R, Arctan(sh(x)) = 2 Arctan(ex)−π 2 puis expliquer comment la courbeCg peut se d´eduire de la courbeCf.
1
Exercice 3 (Calculs de primitives) 1. D´eterminer toutes les primitives sur 1
2,+∞ de
f1:x7→√ 2x−1.
2. D´eterminer toutes les primitives surRde
f2:x7→x e−x. 3. D´eterminer toutes les primitives sur ]1,+∞[ de
f3:x7→ 1 xln(x). 4. D´eterminer toutes les primitives surRde
f4:x7→ 1 x2+ 2x+ 3. 5. D´eterminer toutes les primitives sur ]−1,1[ de
f5:x7→ x3+x
√1−x4.
6. D´eterminer toutes les primitives surRde
f6: x7→sin(2x) cos3(x).
7. D´eterminer toutes les primitives sur ]−1,+∞[ de f7:x7→ 1
x2+ 2x+ 1. 8. D´eterminer toutes les primitives surRde
f8: t7→ 1 1 + ch(t). 9. D´eterminer toutes les primitives surRde
f9:x7→e−2xsin(3x).
10. D´eterminer toutes les primitives sur ]1,+∞[ de
f10:x7→ln(x−1).
2
