L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Correction du devoir surveill´ e n˚1
Exercice 1 :Soita∈R. R´esoudre l’´equation (Ea) d´efinie par : (Ea) : (a−1)x+a= 1.
Correction :On a :
(Ea)⇐⇒(a−1)x= 1−a (soustraction dea`a chacun des membres). (1) Pour poursuivre la r´esolution, on aimerait diviser chacun des deux membres de l’´equation (a−1)x= 1−apar (a−1), ce qui n’est possible que si (a−1)6= 0, i.e. sia6= 1. Ceci nous conduit `a scinder l’´etude en deux parties : le cas o`u a6= 1 et le cas o`ua= 1.
• Cas o`ua6= 1
Commea6= 1, (a−1)6= 0. On a d’apr`es (1) : (Ea)⇐⇒x= 1−a
a−1 (division par (a−1)6= 0 de chacun des membres).
La fraction 1−a
a−1 se simplifie. En effet, comme 1−a=−(−1 +a) =−(a−1), on a : 1−a
a−1 =−(a−1)
a−1 =−a−1 a−1 =−1.
Dans ce cas, on a donc :
Sol(Ea)={−1}.
• Cas o`ua= 1
Si a= 1, alors l’´equation (Ea) se r´e´ecrit :
1 = 1.
Comme 1 = 1 est vrai, toutx∈Rest solution de (Ea). Dans ce cas, on a donc : Sol(Ea)=R.
Exercice 2 :Soit (S) le syst`eme lin´eaire d´efini par :
(S) :
1
3x + 1
2y = 3
x − 3y = 0
−3x + 4y = −10 .
1. D´eterminer l’ensemble solution Sol(S)du syst`eme (S).
2. (a) D´emontrer que pour tout x, y∈R: 1 3x+1
2y= 3 ⇐⇒ y=−2
3x+ 6.
(b) D´emontrer que pour toutx, y∈R:
x−3y= 0 ⇐⇒ y= 1 3x.
(c) D´emontrer que pour toutx, y∈R:
−3x+ 4y=−10 ⇐⇒ y=3 4x−5
2.
(d) Proposer alors une interpr´etation g´eom´etrique de l’ensembleSol(S), sous forme de phrase.
Indication : On pourra introduire un rep`ere (O;−→i ,→−j) du plan.
(e) Faire un graphique illustrant la phrase ´ecrite en (d) et v´erifier la coh´erence du graphique avec le r´esultat obtenu en 1.
Correction
1. Pour r´esoudre le syst`eme (S), on utilise la m´ethode du pivot de Gauß. Pour cela, on ´echelonne le syst`eme (S), `a l’aide d’op´erations ´el´ementaires.
(S) ⇐⇒
x − 3y = 0 L1↔L2
1
3x + 1
2y = 3
−3x + 4y = −10
⇐⇒
1 x − 3y = 0
3
2y = 3 L2←L2−1
3L1
−5y = −10 L3←L3+ 3L1
⇐⇒
1 x − 3y = 0
3
2 y = 3
0 = 0 L3← 3
2L3+ 5L2
On remarque que le syst`eme (S) est de rang 2 et que la ligne L3 est toujours v´erifi´ee. En multipliant chacun des membres deL2 par 2
3, on obtient :
y= 2.
On reporte cette valeur dansL1 pour avoir :
x−3×2 = 0 soit x= 6.On en d´eduit :
Sol(S)={(6,2)}. 2. (a) Soient x, y∈R.
1 3x+1
2y= 3 ⇐⇒ 1
2y= 3−1 3x
soustraction de 1
3x`a chacun des membres
⇐⇒ y= 6−2
3x (multiplication par 26= 0 de chacun des membres)
(b) Soientx, y∈R.
x−3y= 0 ⇐⇒ −3y=−x (soustraction dex`a chacun des membres)
⇐⇒ y=−1
3 ×(−x)
multiplication par−1
3 6= 0 de chacun des membres
⇐⇒ y=1 3x
car−1
3 ×(−x) = 1 3x
(c) Soientx, y∈R.
−3x+ 4y=−10 ⇐⇒ 4y=−10 + 3x (ajout de 3x`a chacun des membres)
⇐⇒ y=1
4(−10 + 3x)
multiplication par 1
4 6= 0 de chacun des membres
⇐⇒ y=−5 2 +3
4x
car 1
4(−10 + 3x) =−5 2+3
4x
(d) Soit (O;−→i ,−→j) un rep`ere du plan. On sait que les 3 ´equations y=−2
3x+ 6 ; y=1
3x ; y=3
4x−5 2 sont des ´equations de droites (non parall`eles `a l’axe des ordonn´ees). Soient
• D1la droite d’´equationy=−2 3x+ 6 ;
• D2la droite d’´equationy=1 3x;
• D3la droite d’´equationy=3 4x−5
2.
Alors un pointM de coordonn´ees (xM, yM) appartient aux trois droites si et seulement si ses coor- donn´ees sont solutions des trois ´equations pr´ec´edentes, i.e. du syst`eme (S).
L’ensembleSol(S)est donc l’ensemble des coordonn´ees des points communs aux trois droitesD1,D2 et D3.
(e) On trace les trois droitesD1, D2 et D3. Pour cela, on peut commencer par d´eterminer deux points disctincts de chacune d’elles.
• Le pointA1 d’abscisse 0 deD1 a pour ordonn´ee−2
3 ×0 + 6 = 6.
Le pointB1d’abscisse 3 deD1a pour ordonn´ee−2
3×3 + 6 = 4. (Ici, on a choisi 3 comme abscisse, pour avoir une ordonn´ee enti`ere.)
La droiteD1est donc la droite qui passe parA1(0,6) etB1(3,4).
• Le pointA2 d’abscisse 0 deD2 a pour ordonn´ee 1
3×0 = 0. (A2 co¨ıncide donc avec l’origineO du rep`ere.)
Le pointB2d’abscisse 3 deD2a pour ordonn´ee 1
3×3 = 1. (Ici, on a choisi 3 comme abscisse, pour avoir une ordonn´ee enti`ere.)
La droiteD2est donc la droite qui passe parA2(0,0) etB2(3,1).
• Le pointA3 d’abscisse 0 deD3 a pour ordonn´ee 3
4×0−5 2 =−5
2. Le pointB2d’abscisse 2 deD3a pour ordonn´ee3
4×2−5
2 =−1. (Ici, on a choisi 2 comme abscisse, pour avoir des 2 aux deux d´enominateurs.)
La droiteD3est donc la droite qui passe parA3
0,−5
2
etB3(2,−1).
On a donc le graphique suivant.
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
−4
−5
−6
D1
D2
D3
−
→j
−
→i
xM
yM
bA1
bB1
b
A2
b
B2
b
A3
b
B3
b
M
En utilisant l’interpr´etation graphique donn´ee en (d), on d´eduit du graphique que : (S) n’admet qu’une solution donn´ee par (6,2). En effet, les trois droites se coupent en un unique point, de coor- donn´ees (6,2). Ceci est coh´erent avec le r´esultat trouv´e en 1.
Exercice 3 : R´esolution d’un syst`eme lin´eaire 3×3 R´esoudre le syst`eme lin´eaire (S) d´efini par :
(S) :
1
2x − 1
2y + z = −1
−x + y + 2z = 1 2
3x − 2
3y + 5
2z = −1 .
Correction :Pour r´esoudre le syst`eme (S), on utilise la m´ethode du pivot de Gauß. Pour cela, on ´echelonne le syst`eme (S), `a l’aide d’op´erations ´el´ementaires.
(S) ⇐⇒
−x + y + 2z = 1 L1↔L2
1
2x − 1
2y + z = −1 2
3x − 2
3y + 5
2z = −1
(S) ⇐⇒
−1 x + y + 2z = 1 2z = −1
2 L2←L2+1 2L1
23
6 z = −1
3 L3←L3+2 3L1
⇐⇒
−1 x + y + 2z = 1 2 z = −1 2
0 = 5
4 L3←2L3−23 6 L2
On remarque que le rang de (S) est 2. De plus,L3 n’ayant aucune solution, l’ensemble solution de (S) est∅.
Exercice 4 : R´esolution d’un syst`eme lin´eaire 4×3 R´esoudre le syst`eme lin´eaire (S) d´efini par :
(S) :
x + 2y + 3z = −1
4x + 5y + 6z = 0
7x + 8y + 9z = 1
10x + 11y + 12z = 2
.
Correction :Pour r´esoudre le syst`eme (S), on utilise la m´ethode du pivot de Gauß. Pour cela, on ´echelonne le syst`eme (S), `a l’aide d’op´erations ´el´ementaires.
(S) ⇐⇒
1 x + 2y + 3z = −1
−3y − 6z = 4 L2←L2−4L1
−6y − 12z = 8 L3←L3−7L1
−9y − 18z = 12 L4←L4−10L1
⇐⇒
1 x + 2y + 3z = −1
−3 y − 6z = 4
0 = 0 L3←L3−2L2
0 = 0 L4←L4−3L2
On remarque que le rang de (S) est r = 2 et que les lignesL3 et L4 sont toujours v´erifi´ees. Le syst`eme (S) poss`eden= 3 inconnues. On choisitn−r= 1 param`etre, par exemplez. On exprime alorsxetyen fonction dez.
On a :
L2 ⇐⇒ −3y= 4 + 6z (ajout de 6z `a chacun des membres)
⇐⇒ y=−1
3(4 + 6z) (multiplication par−1
3 6= 0 de chacun des membres)
⇐⇒ y=−4 3 −2z
car−1
3(4 + 6z) =−4 3 −2z
.
En reportant cette expression dey en fonction dezdansL1, il vient : x+ 2
−4 3 −2z
+ 3z=−1 soit
x−8
3−z=−1.
On a :
x−8
3−z=−1 ⇐⇒ x=−1 + 8 3+z
ajout de 8
3 +z `a chacun des membres
⇐⇒ x=5 3 +z.
On d´eduit de cette ´etude que :
Sol(S)= 5
3 +z,−4 3−2z, z
: z∈R
.
Exercice 5 : R´esolution d’un syst`eme lin´eaire 4×4 R´esoudre le syst`eme lin´eaire (S) d´efini par :
(S) :
2a + b + c − d = 3
4a + 2b + c + d = 8
−4a + 3b + c + d = 1
−2a + 4b + c + d = 4 .
Correction :Pour r´esoudre le syst`eme (S), on utilise la m´ethode du pivot de Gauß. Pour cela, on ´echelonne le syst`eme (S), `a l’aide d’op´erations ´el´ementaires.
(S) ⇐⇒
2 a + b + c − d = 3
−c + 3d = 2 L2←L2−2L1
5b + 3c − d = 7 L3←L3+ 2L1
5b + 2c = 7 L4←L4+L1
⇐⇒
2 a + b + c − d = 3
5b + 3c − d = 7 L2↔L3
−c + 3d = 2
5b + 2c = 7
⇐⇒
2 a + b + c − d = 3
5 b + 3c − d = 7
−c + 3d = 2
−c + d = 0 L4←L4−L2
⇐⇒
2 a + b + c − d = 3
5 b + 3c − d = 7
−1 c + 3d = 2
−2d = −2 L4←L4−L3
Le syst`eme (S) poss`eden = 4 inconnues,p = 4 ´equations et a pour rang r = 4 d’apr`es la forme ´echelonn´ee pr´ec´edente. Commen=p=r, le syst`eme (S) est de Cramer ; il poss`ede donc une unique solution.
En multipliant chacun des membres de L4par−1
2, on obtient : d= 1.
DeL3 et ded= 1, on d´eduit :−c+ 3×1 = 2 soit
c= 1.
DeL2 et ded= 1, c= 1, on d´eduit : 5b+ 3×1−1 = 7 soit b= 1.
DeL1 et ded= 1, c= 1, b= 1 on d´eduit : 2a+ 1 + 1−1 = 3 soit a= 1.
De cette ´etude, on d´eduit :
Sol(S)={(1,1,1,1)}.
Exercice 6 : R´esolution d’un syst`eme lin´eaire 2×2 `a param`etre Soitm∈R. R´esoudre le syst`eme lin´eaire (Sm) d´efini par :
(Sm) :
mx − (2m−1)y = 1
x − my = m .
Correction :On commence le processus d’´echelonnement de (S). Dans un premier temps, on ´echangeL1 et L2, pour avoir un coefficient non nul devantx.
Attention : Le nombrempeut ˆetre nul et on doit prendre garde `a ne jamais choisir un pivot nul. En particulier, la transformation L2←mL2−L1 n’est pas une op´eration ´el´ementaire, sim= 0!
(Sm) ⇐⇒
x − my = m L1↔L2
mx − (2m−1)y = 1
⇐⇒
1 x − my = m
(m2−(2m−1))y = 1−m2 L2←L2−mL1
Comme (m2−(2m−1)) =m2−2m+ 1, on a donc : (Sm)⇐⇒
( 1 x − my = m
(m2−2m+ 1) y = 1−m2 (2)
A ce moment de l’´etude, on voit que la suite sera diff´erente selon que (m` 2−2m+ 1) soit ou non nul. Avant de scinder l’´etude en deux parties, on cherche pour quelles valeurs dem, le nombre (m2−2m+ 1) est nul.
On cherche donc `a r´esoudre l’´equation polynomiale de degr´e 2 : m2−2m+ 1 = 0. On peut bien sˆur d’abord calculer un discriminant ∆ et suivre la m´ethode vue au lyc´ee, mais ici il y a plus rapide. En effet, d’apr`es la deuxi`eme identit´e remarquable :
m2−2m+ 1 = (m−1)2. (3)
On voit alors directement que :
m2−2m+ 1 = 0⇐⇒m= 1. (4)
On scinde alors l’´etude en deux parties : le cas o`um6= 1 et le cas o`um= 1.
• Cas o`um6= 1
Dans ce cas, on am2−2m+ 16= 0, d’apr`es (4).
Le syst`eme (Sm) est alors de rangr= 2. Or il poss`eden= 2 inconnues etp= 2 lignes. Commen=p=r, le syst`eme (Sm) est de Cramer ; par suite il poss`ede une unique solution.
D’autre part, de (2) et (3), on d´eduit que : (Sm)⇐⇒
( 1 x − my = m (m−1)2 y = 1−m2
En divisant chacun des membres deL2par (m−1)26= 0, il vient : y= 1−m2
(m−1)2. D’apr`es la troisi`eme identit´e remarquable, on a :
1−m2= 12−m2= (1−m)(1 +m) et par suite :
1−m2 (m−1)2 =
−(m−1)
z }| {
(1−m)(1 +m)
(m−1)(m−1) =− (m−1)(1 +m)
(m−1)(m−1) =−1 +m
m−1 =1 +m 1−m. On a donc : y=1 +m
1−m.
En reportant cette expression de y dansL1, il vient : x−m
1 +m 1−m
=m et par suite :
x=m+m
1 +m 1−m
. Or :
m+m
1 +m 1−m
=m
1 + 1 +m 1−m
=m
1−m
1−m+1 +m 1−m
= 2m
1−m. On a donc : x= 2m
1−m.
Dans ce cas, l’ensemble solution du syst`eme lin´eaire (Sm) est : 2m
1−m,1 +m 1−m
.
• Cas o`um= 1
Dans ce cas, le syst`eme (Sm) se r´e´ecrit : (Sm) :
x − y = 1 x − y = 1 et donc :
(Sm)⇐⇒
x − y = 1
0 = 0 L2←L2−L1 .
On remarque que le rang de (Sm) estr = 1 et que la ligne L2 est toujours v´erifi´ee. Le syst`eme (Sm) poss`eden= 2 inconnues. On choisitn−r= 1 param`etre, par exempley. On exprime alorsxen fonction dey.
DeL1, on d´eduit que : x=y+ 1. Par suite l’ensemble solution de (Sm) est dans ce cas : {(y+ 1, y) : y∈R}.
Exercice 7 : R´esolution d’une ´equation polynomiale de degr´e 3 Le but de cet exercice est de r´esoudre l’´equation(E), d´efinie par :
(E) : x3−2x2−4x+ 3 = 0.
1. Le nombre 3 est-il solution de (E) ?
2. Soitx∈Ret soienta, b, c∈R. D´evelopper, r´eduire et ordonner l’expression : (x−3)(ax2+bx+c)
i.e. d´evelopper (x−3)(ax2+bx+c), puis ´ecrire le r´esultat du d´eveloppement sous la forme : x3+x2+x+
o`u lesd´esignent des nombres r´eels ind´ependants dexqui sont `a d´eterminer, en fonction dea, b, c.
3. D´emontrer qu’il existea, b, c∈Rtels que pour toutx∈R:
(x−3)(ax2+bx+c) =x3−2x2−4x+ 3.
Indication : On pourra introduire un syst`eme lin´eaire.
4. R´esoudre alors l’´equation (E).
Correction 1. On calcule
33
|{z}
27
−2× 32
|{z}
9
−4×3 + 3.
On trouve 0, donc 3 est solution de l’´equation :
x3−2x2−4x+ 3 = 0.
2. Soitx∈Ret soienta, b, c∈R.
(x−3)(ax2+bx+c) = ax3+bx2+cx−3ax2−3bx−3c
= ax3+ (b−3a)x2+ (c−3b)x−3c On a donc :
(x−3)(ax2+bx+c) = a x3+ (b−3a) x2+ (c−3b) x+ −3c . 3. Soitx∈Ret soienta, b, c∈R. D’apr`es la question pr´ec´edente, on a :
(x−3)(ax2+bx+c) =x3−2x2−4x+ 3⇐⇒ax3+ (b−3a)x2+ (c−3b)x−3c=x3−2x2−4x+ 3.
On va chercher des nombres r´eelsa, b, ctels que
ax3+ (b−3a)x2+ (c−3b)x−3c=x3−2x2−4x+ 3 pour toutx∈R. On aura alors aussi :
(x−3)(ax2+bx+c) =x3−2x2−4x+ 3 pour toutx∈Rd’apr`es l’´equivalence pr´ec´edente.
Pour que l’on ait l’´egalit´e :
a x3+ (b−3a) x2+ (c−3b) x+ −3c = 1 x3+ −2 x2+ −4 x+ 3
pour tout x∈ R, il suffit (et il faut, comme nous le verrons plus tard dans le cours sur les polynˆomes) que :
a = 1 (´egalit´e des coefficients devantx3)
−3a + b = −2 (´egalit´e des coefficients devantx2)
−3b + c = −4 (´egalit´e des coefficients devantx)
−3c = 3 (´egalit´e des termes constants)
On note (S) ce syst`eme lin´eaire d’inconnue (a, b, c)∈R3. On le r´esout par la m´ethode du pivot de Gauß.
Pour cela, on commence par l’´echelonner, `a l’aide d’op´erations ´el´ementaires.
(S) ⇐⇒
1 a = 1
b = 1 L2←L2+ 3L1
−3b + c = −4
−3c = 3
⇐⇒
1 a = 1
1 b = 1
c = −1 L3←L3+ 3L2
−3c = 3
⇐⇒
1 a = 1
1 b = 1
1 c = −1
0 = 0 L4←L4+ 3L3
On remarque que le rang de (S) est 3 et que la ligneL4 est toujours v´erifi´ee. On voit que le syst`eme (S) poss`ede une unique solution :
(1,1,−1).
Par suite on a :
pour toutx∈R (x−3)( 1 x2+ 1 x+ −1
| {z }
x2+x−1
) =x3−2x2−4x+ 3. (5)
4. On utilise la factorisation pr´ec´edente pour d´ebuter la r´esolution de (E).
(E) : x3−2x2−4x+ 3 = 0 ⇐⇒ (x−3)(x2+x−1) = 0 (d’apr`es la question 3)
⇐⇒
x−3 = 0 ou
x2+x−1 = 0
Un produit de deux facteurs est nul ssi au moins l’un des deux est nul.
On a donc :
(E)⇐⇒
x= 3 ou
x2+x−1 = 0
. (6)
Il reste alors `a r´esoudre l’´equation
(E′) : x2+x−1 = 0 i.e. `a chercher les racines du trinˆome du second degr´e :
P =x2+x−1
dont les coefficients sonta= 1,b= 1 etc=−1. Son discriminant ∆ est donn´e par :
∆ =b2−4ac= 12−4×1×(−1) = 5.
Comme ∆>0, le polynˆomeP admet deux racines r´eelles distinctes : x1= −b−√
∆
2a = −1−√ 5
2 =−1
2−
√5
2 et x2=−b+√
∆
2a = −1 +√ 5
2 =−1
2 +
√5 2 . De cette ´etude et de (6), on d´eduit que l’ensemble solution de (E) est :
Sol(E)= (
3,−1 2 −
√5 2 ,−1
2 +
√5 2
) .
Exercice 8 : Un probl`eme d’Euler
J´er´emy, Louis et S´ebastien jouent ensemble. Ils conviennent qu’`a chaque partie, le perdant doublera la somme que poss`ede chacun des deux autres joueurs. Ils se retirent du jeu avec 24 euros chacun. On demande combien chacun avait d’argent en venant jouer, sachant qu’ils ont jou´e trois parties et que chacun d’eux a perdu une partie.
Correction
• Traduction de l’´enonc´e en un syst`eme d’´equations On note :
x1 la somme qu’avait au d´epart le joueur qui a perdu la premi`ere partie ; x2 la somme qu’avait au d´epart le joueur qui a perdu la deuxi`eme partie ; x3 la somme qu’avait au d´epart le joueur qui a perdu la troisi`eme partie.
Le tableau suivant donne les sommes que poss`edent les joueurs apr`es chaque partie.
1er joueur 2`eme joueur 3`eme joueur
Sommes apr`es la 1`ere partie
x1−(x2+x3)
= x1−x2−x3 2x2 2x3
Sommes apr`es la 2`eme partie
2(x1−x2−x3)
= 2x1−2x2−2x3
2x2−(x1−x2−x3+ 2x3)
= −x1+ 3x2−x3 4x3
Sommes apr`es la 3`eme partie
2(2x1−2x2−2x3)
= 4x1−4x2−4x3
2(−x1+ 3x2−x3)
= −2x1+ 6x2−2x3
4x3−(2x1−2x2−2x3+ (−x1+ 3x2−x3))
= −x1−x2+ 7x3
D’apr`es l’´enonc´e, on a donc :
(S) :
4x1 − 4x2 − 4x3 = 24
−2x1 + 6x2 − 2x3 = 24
−x1 − x2 + 7x3 = 24 .
• R´esolution du syst`eme lin´eaire
On remarque que tous les coefficients de L1 sont divisibles par 4 et que tous ceux deL2 sont divisibles par 2. On peut donc ≪r´eduire la taille≫ des coefficients des deux premi`eres lignes, en conservant des coefficients entiers. On a :
(S)⇐⇒
x1 − x2 − x3 = 6 L1←L1/4
−x1 + 3x2 − x3 = 12 L2←L2/2
−x1 − x2 + 7x3 = 24
.
On r´esout ce dernier syst`eme (et donc (S)) par la m´ethode du pivot de Gauß. Pour cela, on commence par l’´echelonner, `a l’aide d’op´erations ´el´ementaires.
(S) ⇐⇒
1 x1 − x2 − x3 = 6
2x2 − 2x3 = 18 L2←L2+L1
−2x2 + 6x3 = 30 L3←L3+L1
⇐⇒
1 x1 − x2 − x3 = 6
2 x2 − 2x3 = 18
4x3 = 48 L3←L3+L2
On remarque que le rang de (S) est 3. Le syst`eme lin´eaire (S) poss`eden= 3 inconnues,p= 3 ´equations.
Comme n=p=r, (S) est de Cramer ; il poss`ede donc une unique solution. Le probl`eme est donc bien pos´e, i.e. on peut d´eterminer les sommes que poss´edaient initialement les trois joueurs avant le d´ebut du jeu.
DeL3, on d´eduit que x3= 12.
DeL2et x3= 12, on d´eduit que :
2x2−2×12 = 18 et par suite que :
x2= 21.
DeL1et x3= 12,x2= 21, on d´eduit que :
x1−21−12 = 6 soit
x1= 39.
On a donc :
Sol(S)={(39,21,12)}.
• Conclusion
Avant de commencer `a jouer :
le joueur qui a perdu la premi`ere partie poss´edait 39e ; le joueur qui a perdu la deuxi`eme partie poss´edait 21e ; le joueur qui a perdu la troisi`eme partie poss´edait 12e.
Probl`eme : Trouver deux nombres r´eels connaissant leur somme et leur produit Partie A : ´Etude g´en´erale
Soientaet bdeux nombres r´eels. On poses=a+betp=abet on consid`ere l’´equation (E) d´efinie par : (E) : x2−sx+p= 0.
L’objectif de cette partie est de montrer que l’ensemble {a, b} et l’ensemble solution de (E), not´e Sol(E), sont
´
egaux, i.e. que :
(∗) {a, b}=Sol(E).
1. D´emontrer que{a, b} ⊂Sol(E), i.e. : prouver queaet bsont solutions de l’´equation (E).
2. D´emontrer queSol(E)⊂ {a, b}, i.e. prouver que sixest solution de (E), alors :
x=a ou
x=b .
Indication : On pourra commencer par d´evelopper, r´eduire et ordonner l’expression :
(x−a)(x−b).
Conclusion : De 1. et 2., on d´eduit le r´esultat(∗).
Partie B : Applications
Dans cette partie, on se propose d’appliquer le r´esultat (∗)`a des situations≪concr`etes≫. 1. D´eterminer l’ensemble des couples (a, b)∈Rtels que :
a+b= 31 et ab= 240.
2. D´emontrer qu’il n’existe aucun couple (a, b) de nombres r´eels tel que : a+b= 16 et ab= 65.
Correction Partie A
1. • Montrons que aest solution de (E).
a solution de (E) ⇐⇒ a2− s
|{z}
(a+b)
×a+ p
|{z}
ab
= 0
⇐⇒ a2−a(a+b) +ab
| {z }
0
= 0
⇐⇒ 0 = 0
Comme 0 = 0 est vraie,≪aest solution de (E)≫ est ´egalement vraie.
• Montrons que best solution de (E).
b solution de (E) ⇐⇒ b2− s
|{z}
(a+b)
×b+ p
|{z}
ab
= 0
⇐⇒ b2−b(a+b) +ab
| {z }
0
= 0
⇐⇒ 0 = 0
Comme 0 = 0 est vraie,≪best solution de (E)≫ est ´egalement vraie.
2. • Factorisation dex2−sx+p On suit l’indication. Soitx∈R.
(x−a)(x−b) =x2−bx−ax+ab=x2−(a+b)
| {z }
s
x+ ab
|{z}
p
.
On a donc :
pour toutx∈R x2−sx+p= (x−a)(x−b). (7)
• Preuve deSol(E)⊂ {a, b}
Soitxsolution de (E). Alorsx2−sx+p= 0.
x2−sx+p= 0 =⇒ (x−a)(x−b) = 0 (cf. factorisation pr´ec´edente)
=⇒
x−a= 0 ou
x−b= 0
Si un produit de deux facteurs est nul alors au moins l’un des deux est nul.
=⇒
x=a ou
x=b
Conclusion de la partie A : On a donc, dans cette partie, d´emontr´e que : pour toutx∈R x2−(a+b)x+ab= 0⇐⇒
x=a ou
x=b
. (8)
Partie B
1. D’apr`es (8), le couple (a, b) v´erifie le syst`eme (non lin´eaire) (S) :
a+b = 31 ab = 240 si et seulement siaet bsont racines du polynˆome du second degr´e :
P =x2−31x+ 240.
Les coefficients de P sont :A= 1,B =−31 etC= 240. Son discriminant ∆ est donn´e par :
∆ =B2−4AC= (−31)2−4×1×240 = 1.
Comme ∆>0, le polynˆomeP admet deux racines r´eelles distinctes : x1= −B−√
∆
2A =31−√ 1
2 = 15 et x2=−B+√
∆
2A = 31 +√ 1 2 = 16.
De cette ´etude, on d´eduit que l’ensemble des racines deP est : {15,16}. Il y a donc deux couples (a, b) solutions de (S) :
(15,16) et (16,15).
2. D’apr`es (8), le couple (a, b) v´erifie le syst`eme (non lin´eaire) (S) :
a+b = 16 ab = 65 si et seulement siaet bsont racines du polynˆome du second degr´e :
P =x2−16x+ 65.
Les coefficients de P sont :A= 1,B =−16 etC= 65. Son discriminant ∆ est donn´e par :
∆ =B2−4AC= (−16)2−4×1×65 =−4.
Comme ∆ <0, le polynˆome P n’admet aucune racine r´eelle. On en d´eduit qu’il n’existe aucun couple (a, b) solution de (S).
