N˚ 1 Sp´ecialit´e math
Devoir surveill´ e : CORRECTION
E
XERCICE1
1. (a) Division euclidienne de 2015 par 13 2015 = 13×155 + 0
(b) Division euclidienne de−2015 par 13
−2015 = 13×(−155) + 0
2. Ensemble des nombres entiersN qui, dans leur division euclidienne par 5 donnent un quotient ´egal au double du reste.
On cherche les valeurs deN telles que : N = 5×2r+r= 11r avec 0≤r≤5.
Les valeurs possibles sont donc : 0 11 22 33 et 44 V´erifions :
0 = 5×0 + 0 11 = 5×2 + 1 22 = 5×4 + 2 33 = 5×6 + 3 44 = 5×8 + 4
3. Lorsque l’on divise un entierapar 15 le reste est 11.
Reste de la division euclidienne dea par 5 On a : a= 15×q+ 11
Donc : a= 5×3q+ 11
Mais 11>5 11 ne peut ˆetre un reste dans une division euclidienne par 5 On a par contre : a= 5×3q+ 10 + 1 = 5×(3q+ 2) + 1
Le reste de la division euclidienne deapar 5 est donc 1
1 2 novembre 2015
N˚ 1 Sp´ecialit´e math
E
XERCICE2
PAR TIE A
L’algorithme suivant permet d’obtenir le quotient et le reste de la division euclidienne d’un nombre a dansNpar un nombre entier non nulb dansN.
1 VARIABLES
2 a EST_DU_TYPE NOMBRE 3 b EST_DU_TYPE NOMBRE 4 q EST_DU_TYPE NOMBRE 5 r EST_DU_TYPE NOMBRE 6 DEBUT_ALGORITHME
7 q PREND_LA_VALEUR 0 8 r PREND_LA_VALEUR 0 9 LIRE a
10 LIRE b
11 TANT_QUE (b*q<a) FAIRE 12 DEBUT_TANT_QUE
13 q PREND_LA_VALEUR q+1 14 FIN_TANT_QUE
15 q PREND_LA_VALEUR q-1 16 r PREND_LA_VALEUR a-b*q 17 AFFICHER "q="
18 AFFICHER q 19 AFFICHER "r="
20 AFFICHER r 21 FIN_ALGORITHME
1. Lignes 13 , 15 et 16 compl´et´ees ( Voir ci-dessus)
PAR TIE B
A chaque lettre de l’alphabet, on associe, grˆace au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre 0 et 25.
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
On d´efinit un proc´ed´e de codage de la fa¸con suivante :
Etape 1 :´ A la lettre que l’on veut coder, on associe le nombrem correspondant dans le tableau.
Etape2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 9×m+ 5 par 26 et on le noter.
Etape 2 : Au nombrer, on associe la lettre correspondante dans le tableau.
1. Codage de la lettreU.
A la lettreU on associe le nombre 20
Le reste de la division euclidienne de 9×20 + 5 par 26 est 3 Au nombre 3 on associe la lettreD
2. Algorithme qui `a une valeur de m entr´ee par l’utilisateur, affiche la valeur de r, calcul´ee `a l’aide du proc´ed´e de codage pr´ec´edent.
2 2 novembre 2015
N˚ 1 Sp´ecialit´e math
VARIABLES
a EST_DU_TYPE NOMBRE b EST_DU_TYPE NOMBRE q EST_DU_TYPE NOMBRE r EST_DU_TYPE NOMBRE m EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME
Lire m
q PREND_LA_VALEUR 0 r PREND_LA_VALEUR 0 a PREND_LA_VALEUR 9*m+5 LIRE b
TANT_QUE (b*q<a) FAIRE DEBUT_TANT_QUE
q PREND_LA_VALEUR q+1 FIN_TANT_QUE
q PREND_LA_VALEUR q-1 r PREND_LA_VALEUR a-b*q AFFICHER "r="
AFFICHER r FIN_ALGORITHME
PAR TIE C
1. Nombre entier U tel que le reste de la division euclidienne de 9×U par 26 soit ´egal `a 1 On constate que : 9×3 = 27
DoncU = 3 convient.
2. Si le reste de la division euclidienne de 9m+ 5 par 26 est ´egal `ar alors le reste de la division euclidienne de 3r−15 par 26 est ´egal `a m On suppose : 9m+ 5 = 26×q+r avec 0≤r <26 Alors : r = 9m+ 5−26×q
Donc : 3r−15 = 27m+ 15−78×q−15 Donc : 3r−15 = 27m−78×q
Donc : 3r−15 = 26m+m−78×q Donc : 3r−15 = 26(m−3q) +m
m´etant choisi inf´erieur `a 26 , le reste de la division euclidienne de 3r−15 par 26 est bien m 3. d´ecodage.
Consid´erons un message cod´e par le proc´ed´e pr´ec´edent.
A une lettre de ce message cod´e, on associe son rang dans le tableau de correspondance.
On multiplie ce rang par 3 et on retranche 15
On prend le reste de ce nombre dans sa division euclidienne par 26.
On r´ecup`ere la lettre correspondante dans le tableau.
3 2 novembre 2015
N˚ 1 Sp´ecialit´e math
E
XERCICE3
Ensemble des valeurs de ndansN telles quen+ 1 divise 3n−4 Consid´erons un nombre entierntel que :
n+ 1 divise 3n−4
Puisque (n+ 1) divise de mani`ere ´evidente 3(n+ 1) On a : (n+ 1) divise 3(n+ 1)−(3n−4) = 7 Donc : n+ 1 prend les valeurs : 1,−1,7,−7 Donc : nprend les valeurs 0,−2,6,−8
Puisquen∈N, il ne reste que les valeurs 0 et 6.
4 2 novembre 2015
