Devoir Surveill´ e n˚1. Correction.
1 Fractions, diviseurs.
1. −13 +34 = −124 +129
= 125
5 3+1
1−19 = 539+33 9−19
= 838
= 839×98 = 3
43 −73 ×3−13 2
+ 1 = 43 −73 × 61 2−32 + 1
= 43 −73 × 13 2
+ 1
= 43 −73 ×23 + 1
= 43 −149 + 1
= 129 −149 +99
= 79
2. 54 = 1×54 = 2×27 = 6×9 = 18×3 donc les diviseurs de 54 sont 1,2,3,°,6 9,18,27,54.
De mˆeme :
30 = 1×30 = 2×15 = 3×10 = 5×6 donc les diviseurs de 30 sont 1,2,3,5,°,6 10,15,30.
Le plus grand des diviseurs pr´esent `a la fois dans la liste des diviseurs de 30 et celle de 54 est 6. C’est donc le pgcd (Plus Grand Commun Diviseur...) de 30 et 54.
La fraction 3054 se simplifie donc en divisant en haut et en bas par 6, on obtient la fraction irr´eductible 59.
2 Racines, puissances.
2×4−1 = 2×14 = 12
103
22×53 = (5×2)22×533 = 5232×2×533
= 532×22×52×23 = 2
√48 = √
16×3 = √
16√ 3
= 4√ 3
√16 + 4 +√
20 + 25 = √ 20 +√
45 = √
4×5 +√ 9×5
= √
4√ 5 +√
9√
5 = 2√ 5 + 3√
5
= 5√ 5
1
Le principe dans les deux derni`eres questions est de d´ecomposer le radicande de fa¸con `a faire apparaˆıtre un carr´e parfait. Important : √
a+b6=√ a+√
b.
3 Pourcentages.
1. 40% des 125 employ´es, c’est `a dire 10040 ×125 sont des femmes. Il y a donc 50 femmes dans l’entreprise. On peut aussi raisonner `a l’aide d’un produit en croix (40 femmes pour 100 employ´es donc par proportionnalit´e, 50 femmes pour 125 employ´es). Il y a 125−50 = 75 hommes.
2. 20% des 50 femmes (et non des 125 employ´es, attention !) fument, c’est `a dire 10020 × 50 = 10 femmes fument.
3. 15 hommes sur 75 fument, c’est-`a-dire 1575∗100=20% des hommes (proportionnalit´e :
1575 = 10020...).
4. Attention ici `a ne pas additionner les pourcentages ! Il y a 10+15=25 fumeurs dans l’entreprise sur 125 employ´es. Il y a donc 12525 ∗100=20% de fumeurs dans l’entreprise.
5. Valeur initiale-remise=valeur finale. Attention `a ne pas confondre la remise et le prix final. R´efl´echir sur le r´esultat obtenu, est-il cr´edible que le pantalon passe de 90 `a 27 euros ? Valeur finale= 90−(30%de90) = 90−10030 ×90 = 90−27 = 63 euros.
6. Cette fois on connaˆıt la valeur finale et la valeur initiale, on cherche la remise. Je l’appellex. On a 120−100x ×120 = 90 doncx= 100×120−90120 = 25%.
4 Equations.
−3x+ 1 = 14
−3x = 14 −1
−3x = 14 −44
−3x = −34 x = −34 ×−31
x = 14
R´esoudre le syst`eme
½ 2x+ 4y = 5
−x+y = 2 (×2)
°+
½ 2x+ 4y = 5
−2x+ 2y = 4
On additionne, ce qui fait disparaˆıtre le terme en x il reste 6y = 9 et donc y = 32. On reporte ensuite le y dans la deuxi`eme
´equation (par exemple) pour obtenir x = y−2 =−12.
(bonus !)On cherche x la longueur du cˆot´e du carr´e avant qu’on l’allonge. L’aire du nouveau carr´e est (x+3)2et vaut 18cm2, doncx est solution de l’´equation (x+ 3)2 = 18, et doit ˆetre positif puisquexest une lon- gueur. Cette ´equation a deux solutions, mais une seule positive : x+ 3 = +√
18, et donc x=√
18−3 = 3√ 2−3.
2
