Devoir surveill´ e n˚1

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI − 2012-2013

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir surveill´ e n˚1

Dur´ee : 2 heures

L’usage de la calculatrice est interdit.

Le bar`eme prendra significativement en compte :

• la pr´esentation,

• la clart´e des explications,

• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,

• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.

Questions de cours

1. ´Enoncer les lois de Morgan.

2. ´Enoncer l’axiome de r´ecurrence.

3. ´Enoncer la propri´et´e de multiplicativit´e de la conjugaison complexe, puis la d´emontrer.

4. ´Enoncer les in´egalit´es triangulaires dans C, ainsi que le cas d’´egalit´e.

Exercice 1 (Le produit de trois entiers cons´ecutifs est divisible par 3)

1. Soit m∈N. Donner la d´efinition de

m est divisible par 3

`

a l’aide d’une proposition quantifi´ee.

2. D´emontrer, par r´ecurrence, que pour tout n∈N :

n(n+ 1)(n+ 2) est divisible par 3.

3. D´emontrer, par r´ecurrence, que pour tout n∈N :

n+1

X

k=1

k(k−1) = n(n+ 1)(n+ 2) 3

puis retrouver le r´esultat d´emontr´e en 2.

4. Proposer une troisi`eme d´emonstration du r´esultat ´etabli en 2.

1

Exercice 2 (Fonctions paires, fonctions impaires)

1. Soit g: R→Rune fonction.

(a) Donner la d´efinition de

g est une fonction paire

`

a l’aide d’une proposition quantifi´ee.

(b) Donner la d´efinition de

g est une fonction impaire

`

a l’aide d’une proposition quantifi´ee.

(c) ´Ecrire la proposition

g n’est pas une fonction paire et g n’est pas une fonction impaire

`

a l’aide d’une proposition quantifi´ee.

(d) Donner un exemple de fonction d´efinie sur Rqui n’est ni paire, ni impaire.

On d´emontrera que la fonction propos´ee n’est ni paire, ni impaire.

2. Soit f: R→R une fonction.

(a) D´emontrer qu’il existe une fonction pairep: R→Ret une fonction impairei: R→R telles que :

f =i+p.

(b) La d´ecomposition de f obtenue en (a) est-elle unique ?

Exercice 3 (R´esolution d’une ´equation polynomiale de degr´e 3 dans C)

On consid`ere l’´equation

(E) z³+ (2−2i)z²+ (5−4i)z−10i= 0 d’inconnue z ∈C.

1. D´emontrer que (E) admet une unique solution z₀ imaginaire pure.

2. D´emontrer qu’il existe (a, b, c)∈R³ tels que :

z³+ (2−2i)z²+ (5−4i)z−10i= (z−z₀)(az²+bz+c).

3. R´esoudre l’´equation (E).

2

Exercice 4 (Entiers sommes de deux carr´es d’entiers)

Soit A ∈ N^∗. On dit que A est somme de deux carr´es d’entiers, s’il existe x∈ N et y ∈N tels que :

A=x²+y².

Le but de cet exercice est de d´emontrer que si A est somme de deux carr´es d’entiers, alorsAⁿ est aussi somme de deux carr´es d’entiers, pour tout n ∈N^∗.

1. V´erifier que 233 est somme de deux carr´es.

2. Soientx∈N ety∈N. On pose :

z =x+iy∈C. Pour chaque entiern ∈N^∗, on d´efinit x_n ety_n par :

x_n=Re(zⁿ) et y_n =Im(zⁿ).

(a) Montrer, par r´ecurrence, que pour tout n∈N^∗ : x_n ∈Z et y_n∈Z.

(b) Soit n∈N^∗. Prouver que si A=x²+y², alorsAⁿ =x²_n+y_n². (c) Conclure.

Exercice 5 (Algorithmique)

Ecrire un algorithme utilisant une boucle it´´ erative non conditionnelle qui affiche la valeur de la somme

25000

X

k=1

k².

3