L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚1
Dur´ee : 3 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
Le bar`eme est sur 18, les deux points restants correspon- dront `a une note portant sur les qualit´es suivantes.
• Pr´esentation
• Clart´e des explications
• Justesse du vocabulaire et des symboles employ´es
• Conclusion correctement formul´ee `a chaque question
Exercice 1 : R´esolution d’une ´equation et d’un syst`eme lin´eaires dans C 1. R´esoudre l’´equation (E) : z+ 2
1−z =−4 + 3i.La solution sera donn´ee sous forme alg´ebrique.
2. R´esoudre le syst`eme (S) :
(2 +i)z1+iz2= 1 +i 3iz1−(2−i)z2= 2i .
Chacune des composantes du couple solution sera donn´ee sous forme alg´ebrique.
Exercice 2 : Syst`emes lin´eaires dansR Pour chaque syst`eme ci-dessous :
1. calculer son rang ;
2. pr´eciser s’il est de Cramer ou non ; 3. d´eterminer son ensemble solution.
(S1) :
2x + 3y + 5z = 8
x + 4y + 5z = 2 x + y + 6z = 2
(S2) :
x + y + z = 1
x + 2y − 2z = 0
−2x − 3y + z = −5
(S3) :
3x + 3y + 3z = 3
−x − 2y + 2z = 0
4x + 6y − 2z = 2
Exercice 3 : Puissances successives d’un nombre complexe Soitz= 1
2 +i
√3 2 ∈C.
1. Donner la forme alg´ebrique de znpour chaque entier ntel que 0≤n≤7.
2. D´eterminer la forme alg´ebrique de z2010.
3. (a) Proposer une formule pour la forme alg´ebrique dezn pour toutn∈N. Indication : On pourra distinguer plusieurs cas suivant la valeur de n.
(b) D´emontrer la formule propos´ee en (a).
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Exercice 4 : D´etermination d’une fonctionf `a partir de conditions g´eom´etriques surCf
Soienta,betcdes nombres r´eels etf la fonction d´efinie sur [0; 2] parf(x) =x4+ax3+bx2+cx. Dans le plan P rapport´e `a un rep`ere, soitCf la courbe repr´esentative def et soitIle point de coordonn´ees
1;−1
2
. D´eterminera,bet cpour que :
1. les points d’abscisses 0 et 2 deC aient mˆeme ordonn´ee ; 2. la courbe Cpasse par le pointI;
3. en le pointI, la courbeC admette une tangente parall`ele `a l’axe des abscisses.
Exercice 5 : Transformation de Joukowski
A tout nombre complexe` z6= 0, on associe le nombreZ =1 2
z+1
z
. 1. Soitz=a+ib∈C∗, avecaet br´eels.
(a) Exprimer la partie r´eelle et la partie imaginaire deZ, en fonction deaetb.
(b) Montrer que siz∈C∗ v´erifiez.z= 1, alorsZ est r´eel.
(c) Montrer quez∈C∗ est imaginaire pur si et seulement siZ est imaginaire pur.
2. (a) D´eterminer l’ensemble des nombres complexesz non nuls tels queZ =
√3 2 .
(b) Soitαun nombre r´eel fix´e. En distinguant plusieurs cas, suivant la valeur deα, d´eterminer l’ensemble des nombres complexesznon nuls tels queZ=α.
Exercice 6 : Syst`emes lin´eaires dansRavec param`etre(s)
1. Soitmun nombre r´eel fix´e. D´eterminer le rang et le nombre de solution(s) du syst`eme suivant d’inconnue x
y
o`u x, y∈R.
(S1) :
2mx+ (m+ 1)y= 2
(m+ 2)x+ (2m+ 1)y=m+ 1
Indication : On pourra distinguer plusieurs cas, suivant la valeur du param`etrem.
2. Soitλun nombre r´eel fix´e. D´eterminer le rang et le nombre de solution(s) du syst`eme suivant d’inconnue
x y z
o`ux, y, z∈R.
(S2) :
λx + y + z = 1
x + λy + z = λ
x + y + λz = λ2
Indication : On pourra distinguer plusieurs cas, suivant la valeur du param`etreλ.
Exercice 7 : De Bordeaux `a Saint-Jean-de-Luz, `a v´elo
Deux cyclistes partent en mˆeme temps de Bordeaux pour se rendre `a Saint-Jean-de-Luz (distance : 195 km).
L’un deux, dont la vitesse moyenne sur ce parcours est sup´erieure de 4 km.h−1 `a celle de l’autre, arrive une heure plus tˆot.
D´eterminer la vitesse moyenne de chaque cycliste.
Indications : •On rappelle la formule : distance parcourue = vitesse moyenne ×temps de parcours.
•On pourra utiliser, si besoin, les identit´es :√
196 = 14et 3136 = 16×196.
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Exercice 8 : L’aire des champs
1. On consid`ere un triangleABC et un pointA′ du segment [BC]. On noteAAA′B l’aire du triangleAA′B et AAA′C l’aire du triangleAA′C.
b
B
bA
bC
bD b
A′
D´emontrer que AAA′B AAA′C
= A′B A′C.
2. On consid`ere `a pr´esent un champ triangulaireP RE, dont on connaˆıt les aires de trois parcelles (cf. sch´ema ci-dessous).
20
30 50
bP
b
R
b
E
Calculer l’aire du champP RE.
Indications : On pourra nommer x,y etz les aires des parcelles du champ P RE que l’on ne connaˆıt pas et utiliser le r´esultat 1. dans des triangles bien choisis.
Exercice 9 : Des serpents, des souris et des scorpions Dans un d´esert, il y a des serpents, des souris et des scorpions.
Chaque matin, chaque serpent mange une souris.
Chaque midi, chaque scorpion pique un serpent (et ¸ca ne pardonne pas).
Chaque soir, chaque souris mange un scorpion.
Au bout d’une semaine, il ne reste plus qu’un animal : une souris. Combien y avait-il de souris au d´ebut ?
Probl`eme : R´esolution d’une ´equation polynomiale de degr´e 3 dans C
Le but de ce probl`eme est de r´esoudre dansCl’´equation (E) : z3−6z+ 4 = 0. Partie A : deux ´equations annexes
Soientw=−2 + 2iet α= 1 +ideux nombres complexes. On rappelle que le nombre complexej est d´efini par j=−1
2 +i
√3 2 .
1. V´erifier que : 1 +j+j= 0 ;jj= 1 ;α3=w.
2. Montrer que (z−α)(z−jα)(z−jα) =z3−w.
3
3. En d´eduire :
(a) l’ensemble des solutions de l’´equationz3=w, d’inconnuez∈C; (b) l’ensemble des solutions de l’´equationz3=w, d’inconnuez∈C. Partie B : des outils
SoientA etB deux nombres complexes.
1. Montrer que :
A3+B3= (A+B)3−3AB(A+B).
2. SoitS=A+B etP =AB. Montrer queAet B sont solutions de l’´equation d’inconnuez: z2−Sz+P = 0.
Partie C : r´esolution de (E)
Soitz0 un nombre complexe solution de l’´equation (E). Soient u et v deux complexes tels que u+v =z0 et uv= 2.
1. Donner la valeur dez03−6z0. 2. Calculeru3+v3et u3v3.
3. En d´eduire queu3 et v3 sont solutions de l’´equation (E′) : z2+ 4z+ 8 = 0. 4. Montrer que les deux solutions de (E′) sontwet ¯w.
5. En d´eduire les valeurs possibles deuetv.
6. En d´eduire les valeurs possibles dez0. V´erifier qu’elles sont bien solutions de (E).
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