Devoir surveill´ e n˚1

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L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir surveill´ e n˚1

Dur´ee : 3 heures

L’usage de la calculatrice est interdit.

Le bar`eme prendra significativement en compte :

• la pr´esentation,

• la clart´e des explications,

• le soin porté à l’argumentation des réponses,

• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.

Exercice : Trois droites concourantes Soit (O;−→

i ,−→

j ) un repère orthonormé du plan. On considère trois droites D₁,D₂ etD₃ définies comme suit.

• Soit D₁ la droite du plan passant par les points A(7,1) et B(3,−2).

• Soit D2 la droite passant par le point C(6,2) et dirig´ee par le vecteur −→u(1,2).

• Soit D₃ la droite d’´equation cart´esienne : 3x+y−13 = 0.

Démontrer que les droites D₁, D₂ et D₃ sont concourantes (i.e. se coupent en un point) et donner les coordonnées du point commun à D₁,D₂ et D₃.

Probl`eme 1 : Projet´e orthogonal d’un point sur une droite du plan et minimisation d’une distance

Soit (O;−→ i ,−→

j ) un repère orthonormé du plan. On considère les points : A(2,6) ; B(−1,4) ; C(7,5).

Partie A - Projeté orthogonal de C sur la droite (AB) et distance d(C,(AB)) 1. Calculer les coordonnées du projeté orthogonal C⁰ de C sur la droite (AB).

2. Calculer de deux mani`eres la distance d(C,(AB)) du pointC `a la droite (AB).

(2)

Partie B - Paramétrage de la droite (AB) et calculs de longueurs A chaque` t ∈R, on associe le pointMt de coordonnées (x, y) données par :

x= 8 + 3t y= 10 + 2t .

Ainsi lorsquet varie dansR, le point M_t d´ecrit une droite ; on note D cette droite.

1. Montrer que les droites (AB) et D sont confondues.

2. Soitt∈R. Calculer la longueurCM_tdu segment [CM_t] joignant les points C etM_t, en fonction det.

Partie C - ´Etude d’une fonction longueur

Soit L la fonction d´efinie par :

L: R→R; t7→CM_t. 1. ´Etudier les limites ´eventuelles de L en−∞ et en +∞.

2. Soit P le polynˆome d´efini par :

P: R→R; t 7→13t²+ 26t+ 26.

Montrer que pour toutt∈R : P(t)≥13.

3. Justifier avec soin que la fonction L est dérivable sur R. 4. Calculer la dérivée de L.

5. ´Etudier les variations de la fonctionL surR et dresser son tableau de variations.

6. La fonction L est-elle born´ee sur R?

7. Déduire du résultat de la question 5 que L admet un unique minimum m₀ atteint en un unique pointt₀ ∈R. On précisera les valeurs de t₀ et de m₀.

8. Calculer les coordonn´ees du point M_t₀. Partie D - Conclusion

1. Comparer les points C⁰ etM_t₀, puis les nombres d(C,(AB)) et m₀.

2. Quel résultat du cours a-t-on démontré, dans la situation géométrique particulière de cet exercice ?

Problème 2 : Étude d’une réflexion dans le plan Soient E l’ensemble des vecteurs du plan, B = (−→

i ,−→

j ) une base orthonormée du plan. L’ensemble E des vecteurs du plan est alors muni d’un produit scalaire, noté., caractérisé par :

−

→i .−→

i = 1 ; −→ j .−→

j = 1 ; −→ i .→−

j = 0.

(3)

Soit −→w un vecteur non nul fixé du plan. On définit l’application f: E → E en associant à un vecteur−→u du plan, le vecteur f(−→u) du plan défini par :

(∗) f(−→u) = 2

−

→u .−→w

||−→w||²

−

→w − −→u .

Les parties B, C et D peuvent être traitées indépendamment de la partie A.

Partie A − Etude de l’application´ f sans recours `a des coordonn´ees

1. Montrer que f(−→w) =−→w.

2. Soient −→u₁,−→u₂ deux vecteurs du plan et soient λ₁, λ₂ ∈R. Montrer que : f(λ₁−→u₁ +λ₂−→u₂) =λ₁f(−→u₁) +λ₂f(−→u₂).

3. Montrer que pour tout vecteur −→u du plan : f ◦f(−→u) = −→u.

N.B. : Dans les trois parties suivantes du probl`eme, on suppose que−→w est le vecteur de coordonn´ees (1,−2) dans la base B.

Partie B − Ecriture de´ f en coordonn´ees dans la base B

1. Calculer ||−→w||.

2. Soit−→u un vecteur du plan, soit (x₁, y₁) ses coordonn´ees dans la baseBet soit (x⁰₁, y₁⁰) les coordonn´ees de f(−→u) dans la baseB.

(a) Montrer que :

x⁰₁ =−3

5x₁− 4

5y₁ et y⁰₁ =−4

5x₁+3 5y₁.

(b) En d´eduire qu’il existe une matriceA∈ M₂(R), dont les coefficients ne d´ependent ni de x₁, ni de y₁, telle que :

x⁰₁ y⁰₁

=A x1

y₁

.

3. Calculer A². Que peut-on en d´eduire ? 4. Calculer Aⁿ pour tout n∈N^∗.

On pourra, dans un premier temps, conjecturer un résultat que l’on démontrera, ensuite, par récurrence.

(4)

Partie C − Ecriture de´ f en coordonnées dans une base adaptée Soit −→v le vecteur de coordonnées (2,1) dans la base B.

1. Montrer que E = (−→v ,−→w) est une base orthogonale du plan.

2. Soit−→u un vecteur du plan, soit (x₂, y₂) ses coordonn´ees dans la baseE et soit (x⁰₂, y₂⁰) les coordonn´ees de f(−→u) dans la baseE.

(a) En revenant `a la d´efinition (∗) de f(−→u), montrer que : x⁰₂ =−x₂ et y₂⁰ =y₂.

(b) En d´eduire qu’il existe une matriceD∈ M₂(R), dont les coefficients ne d´ependent ni de x₂, ni de y₂, telle que :

x⁰₂ y₂⁰

=D x₂

y₂

.

3. Calculer D². Que peut-on en d´eduire ?

Partie D − Relation entre les matrices A et D

1. Soit PB,E la matrice de passage de la base B à la base E. D’après le cours, quelle propriété remarquable possède la matrice P_B,E?

2. Soit PE,B la matrice de passage de la base E `a la base B. Toujours d’apr`es le cours, quel lien existe-t-il entre les matricesPB,E etPE,B?

3. Soit −→u un vecteur du plan. On note :

• (x₁, y₁) les coordonn´ees de−→u dans la base B;

• (x⁰₁, y⁰₁) les coordonn´ees def(−→u) dans la baseB;

• (x₂, y₂) les coordonn´ees de−→u dans la base E;

• (x⁰₂, y⁰₂) les coordonn´ees def(−→u) dans la baseE. (a) Donner une expression de

x⁰₁ y⁰₁

en fonction de x⁰₂

y⁰₂

et d’une matrice.

(b) Donner une expression de x₂

y2

en fonction de x₁

y1

et d’une matrice.

(c) D´eduire de (a), (b) et des relations obtenues aux questions B-2.(b) et C-2.(b) que :

PB,ED P_B,E⁻¹ x₁

y₁

=A x₁

y₁

. (d) D´eduire de (c) que :

A=PB,ED P_B,E⁻¹. 4. (a) Calculer la matrice PB,E, puis la matricePE,B.

(b) Proposer alors une autre méthode que celle exposée en 3. pour redémontrer la relation :

A=PB,ED P_B,E⁻¹.

(c) Comparer l’efficacit´e (e.g. le nombre de calculs) des deux m´ethodes.

(5)

Problème 3 : Études de fonctions définies par une intégrale

Soit g une fonction d´efinie et continue sur R. On d´efinit la fonction f par : f: R→R; x7→

Z x

−x

g(t)dt.

Partie A - D´erivabilit´e de f et expression de f⁰ en fonction de g

1. Justifier que la fonction f est bien d´efinie sur R. 2. Montrer que la fonction f est impaire.

Aucun changement de variable n’est n´ecessaire ici.

3. Montrer que f est d´erivable sur R.

On pourra introduire une primitive G de g sur R, apr`es avoir justifi´e son existence.

4. Exprimer f⁰(x) à l’aide de la fonction g, pour tout x∈R. Partie B - Un critère d’imparité pour la fonction g

1. On suppose uniquement pour cette question 1. que g est une fonction impaire.

(a) Montrer que pour tout x∈R :f(x) =−f(x).

On pourra consid´erer le changement de variable u=−t.

(b) En d´eduire que pour tout x∈R : f(x) = 0.

2. On suppose uniquement pour cette question 2. que f est la fonction nulle, i.e. que pour toutx∈R : f(x) = 0.

(a) D’après l’hypothèse faite ici, que vautf⁰(x) pour tout x∈R? (b) En déduire que la fonctiong est impaire.

3. D’après 1. et 2., quel critère d’imparité pour la fonctiong peut-on énoncer ? On donnera la réponse en utilisant une équivalence.

Partie C - ´Etude d’un cas particulier

On suppose d´esormais que la fonctiong est donn´ee par : g: R→R; t7→ te^t

t²+ 1. 1. Montrer que la fonction g est continue sur R. 2. (a) ´Etudier les limites de g en−∞ et en +∞.

(b) En d´eduire que g n’est pas impaire.

3. En utilisant le r´esultat de la question A-4, calculer f⁰(x) pour tout x∈R. 4. ´Etudier les variations de f surR.

5. Soit x∈]1,+∞[.

(a) Montrer que :

Z 0

−x

te^t

t²+ 1 dt=− Z x

0

te^−t t²+ 1 dt.

(6)

(b) En d´eduire que :

f(x) = Z x

0

t(e^t−e^−t) t²+ 1 dt.

(c) Montrer que la fonction h d´efinie par :

h: R→R; t7→e^t−e^−t est strictement croissante sur R et en d´eduire que e− 1

e est un minorant de h sur [1,+∞[.

(d) Justifier que le nombre e− 1

e est strictement positif.

(e) Montrer que : Z x

1

t (e^t−e^−t)

t²+ 1 dt≥ 1 2

e− 1

e

ln(x²+ 1)−ln(2) .

(f) En d´eduire le comportement asymptotique de f en +∞.

6. Donner le comportement asymptotique de f en−∞.