Devoir Surveill´ e n˚3. Vecteurs.
Exercice 1
N
B C
A
M
P
1.
−−→AM = −−→
AB−−→
−−→ AC
AM = −−→
AB+−→
−−→ CA
AM = −→
CA+−−→
−−→ AB
AM = −−→
CB(Chasles)
−−→AM =−−→
CB implique que AMBC est un parall´elogramme.
3.
−−→CP = 2−→
CA+−→
AC+−−→
−−→ AB
CP = 2−→
CA−−→
CA+−−→
−−→ AB
CP = −→
CA+−−→
−−→ AB
CP = −−→
CB
Donc P et B sont confondus.
Exercice 2
N
A
v u u
v
A
M M
P
N P
Exercice 3
1.
A(−2; 3) B(1,4) C(4,−5).
On utilise la formule
−−→AB
µ xB−xA
yB−yA
¶
En l’occurrence,
−−→AB
µ 1−(−2) 4−( 3)
¶
=−−→
AB µ 3
1
¶
De mˆeme, on trouve
−−→BC µ 3
−9
¶ −→
AC µ 6
−8
¶
2. On veut d´eterminer les coordonn´ees de~u=−−→
AB+ 2−→
AC. Or on connaˆıt celles de−−→
ABet−→
AC :
−−→AB µ 3
1
¶ et−→
AC µ 6
−8
¶
donc 2−→
AC
µ 2×6 2×(−8)
¶
= µ 12
−16
¶
Donc
~u
µ 3 + 12 1−16
¶
=~u µ 15
−15
¶
3. −−→
AD= 1.5−−→
BCdonc−−→
AD
µ 1.5×3 1.5×(−9)
¶
=−−→
AD µ 4.5
−13.5
¶ .
AppelonsxD etyD les coordonn´ees du point D. AppelonsxAet yA les coordonn´ees de A.
On sait quexA=−2 etyA= 3. Puisque−−→
ADa pour abscisse 4.5, pour ordonn´ee -13.5, on a :
½ xD−xA = 4.5 yD−yA = −13.5
½ xD = 4.5 +xA= 4.5−2 = 2.5
yD = −13.5 +yA=−13.5 + 3 =−10.5
DoncD(2.5;−10.5). D a pour abscisse 2.5 et pour ordonn´ee -10.5.
4. Pour que ABCM soit un parall´elogramme, il faut (et il suffit) que−−→
AB=−−→
M C (ou encore que−−→
AM =−−→
BC). Cherchons les coordonn´ees de M tel que ABCM soit un parall´elogramme.
Dans ce cas, on a ´egalit´e entre−−→
AB et−−→
M C et donc ´egalit´e entre l’abscisse de−−→
AB et celle de
−−→M C, et ´egalit´e entre l’ordonn´ee de−−→
AB et celle de−−→
M C. Donc, si l’on appellexM et yM
l’abscisse et l’ordonn´ee de M :
½ xC−xM=3 yC−yM=1
½ xM=xC−3 = 4−3 = 1 yM=yC−1 =−5−1 =−6
Donc le point M cherch´e a pour coordonn´ees 1 et -6 :M(1,−6).
Exercice 4
1. En proc´edant de mˆeme que dans l’exercice 3 on trouve :
−−→AB µ 3
−4
¶ −−→
CD µ 6
−8
¶
2. On remarque que−−→
CDet−−→
ABsontcolin´eaires. On le voit soit en remarquant directement que
−−→CD= 2−−→
AB (les coordonn´ees de−−→
CDsont le double de celles de −−→
AB) soit en remarquant que l’´egalit´e du produit en croix est v´erifi´ee :x−AB−→y−CD−→=x−CD−→y−AB−→ puisque 3×(−8) = (−4)×6.
Les vecteurs−−→
CD et −−→
AB´etant colin´eaires, ils ont mˆeme direction, et donc les droites qui les portent, (AB) et (CD), sont parall`eles.
3.
−→AE = -2−−→
−→ AB
AE = −2(−→
AC+−−→
CB) (Chasles)
−→AE = −2−→
AC−2−−→
−→ CB
AE = −2−→
AC+ 2−−→
BC
2
