Devoir surveill´e n˚3

Devoir surveill´e n˚3

MP Clemenceau 2020-21 Jeudi 5 novembre 2020

Vous avez 4 heures dans la joie et la bonne humeur mais en silence ! !

Le devoir comporte un seul probl`eme.

Il sera tenu compte de la pr´esentation et de la rigueur des d´emonstrations. Toute copie non r´edig´ee ne sera pas corrig´ee. Il est demand´e aux ´etudiants de mettre leurs nom et pr´enom sur chaque copie (double de pr´ef´erence)

et de num´eroter ces dites copies.

Lorsqu’un raisonnement utilise le r´esultat d’une question pr´ec´edente, il est demand´e au candidat d’indiquer pr´ecis´ement le num´ero de la question utilis´ee.

F F F

I Approximation

I.A Quelques calculs pr´eliminaires

Dans cette sous-partie,xest un nombre r´eel etnun entier naturel.

1) Montrer que :

n

X

k=0

n k

x^k(1−x)^n−k= 1.

2) Montrer que :

n

X

k=0

k n

k

x^k(1−x)^n−k=nx.

3) Montrer que :

n

X

k=0

k(k−1) n

k

x^k(1−x)^n−k=n(n−1)x².

4) D´eduire des questions pr´ec´edentes que :

n

X

k=0

x−k

n ²n

k

x^k(1−x)^n−k= x(1−x) n

I.B Etude de S(x)

Soitn∈IN^∗ etx∈[0,1]. Le but de cette sous-partie est de majorer la somme S(x) =

n

X

k=0

x−k n

n k

x^k(1−x)^n−k

5) Majoration de S(x): premi`ere m´ethode.

On note

– V l’ensemble des entiersk∈[[0, n]] tels que

x−k n 6 1

√n, – W l’ensemble des entiersk∈[[0, n]] tels que

x−k n

> 1

√n,

1

et on pose

SV(x) =X

k∈V

x−k n

n k

x^k(1−x)^n−k et SW(x) = X

k∈W

x− k n

n k

x^k(1−x)^n−k

a) Montrer queS_V(x)6 1

√n. b) Montrer queS_W(x)6x(1−x)

√n . c) En d´eduire queS(x)6 5

4√ n.

6) Majoration de S(x): seconde m´ethode

a) Ecrire l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz dans l’espace IRⁿ⁺¹ muni de son produit scalaire canonique.

b) A l’aide de la question4), en d´eduire queS(x)6 1 2√

n. I.C Application `a l’approximation uniforme

Dans cette sous-partie, on noteC l’espace vectoriel des fonctions continues de [0,1] dans IR. On munitC de la norme de la borne sup´erieure, not´eek k_∞:

∀f ∈ C, kfk_∞= sup

x∈[0,1]

|f(x)|

Pour f ∈ C et n ∈ IN^∗, on d´efinit le n-i`eme polynˆome de Bernstein de f, not´e B_n(f), en posant pour tout x∈[0,1]

B_n(f)(x) =

n

X

k=0

f k

n n k

x^k(1−x)^n−k

Le but de cette sous-partie est d’´etudierkB_n(f)−fk_∞ lorsque f est un ´el´ement deC v´erifiant une hypoth`ese additionnelle.

7) Un exemple

Soitf d´efinie par, pourx∈[0,1],f(x) =x². D´eterminer, pour tout entier non nuln, le polynˆomeBn(f) et en d´eduire la valeur dekBn(f)−fk_∞.

8) Soitf ∈ C. Montrer, pour tout x∈[0,1], la relation Bn(f)(x)−f(x) =

n

X

k=0

f

k n

−f(x) n k

x^k(1−x)^n−k

9) a) Montrer que sif est δ-lipschitzienne, alorskBn(f)−fk_∞6 δ 2√

n pour tout entiern>1.

b) En d´eduire que sif est de classeC¹, alors il existe un r´eelc tel que, pour toutn∈IN^∗,kB_n(f)−fk_∞6 c

√n.

On admettra que ce r´esultat reste vrai pour des fonctions continues de classeC¹ par morceaux, c’est `a dire des fonctions continues dont les d´eriv´ees est d´efinie et continue sauf en un nombre fini de points et admet des limites `a gauche et `a droite en tout point.

10) Soitf : [0,1]→IR de classeC¹. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que, pour tout r´eelr >0, il existe un polynˆome P `a coefficients r´eels tel que

∀x∈[0,1] f(x)−r6P(x)6f(x) +r Donner une interpr´etation topologique du r´esultat ainsi d´emontr´e.

II Un th´ eor` eme de Hardy-Littlewood

Soit (an)_n∈INune suite r´eelle. On suppose que la s´erieX

anxⁿest absolument convergente pourx∈]−1,1[.

On notef(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ sa somme. On suppose que la fonctionf, ainsi d´efinie sur ]−1,1[, v´erifie

f(x)∼ 1

1−x quandx→1, x <1 (II.1) 2

On note, pourn∈IN,A_n=

n

X

k=0

a_k et ^∼a_n= A_n n+ 1.

Le but de cette partie est d’´etudier le comportement des an lorsque ntend vers l’infini. On s’int´eresse en particulier aux deux propri´et´es suivantes :

n→+∞lim a_n= 1 (II.2) et lim

n→+∞

∼a_n = 1 (II.3)

II.A L’hypoth`ese II.1 n’entraˆıne pas la propri´et´e II.2 11) D´eterminer une suite r´eelle (bn)_n∈IN telle que

∀x∈]−1,1[ 1 1−x² =

+∞

X

n=0

bnxⁿ

12) En d´eduire un exemple de suite (an)_n∈IN v´erifiant (II.1)mais ne convergeant pas vers 1 II.B L’hypoth`ese II.1 n’entraˆıne pas la propri´et´e II.3

13) Trouver une suite (cn)_n∈IN de r´eels telle que

∀x∈]−1,1[ 1 (1−x)² =

+∞

X

n=0

cnxⁿ

14) On consid`ere les fonctionsϕ:x7→ 1

(1−x²)² et ψ:x7→ 1

(1 +x)²(1−x). D´eterminer les suites (un)_n∈IN et (v_n)_n∈IN telles que, pour toutx∈]−1,1[

ϕ(x) =

+∞

X

n=0

unxⁿ et ψ(x) =

+∞

X

n=0

vnxⁿ

15) Calculer pour toutn∈IN,^∼vn.

16) Construire `a l’aide de ψ, un exemple de suite (an)_n∈IN v´erifiant (II.1) mais ne v´erifiant pas la propri´et´e (II.3).

Jusqu’`a la fin de cette partie, on continue de supposer(II.1)et on fait l’hypoth`ese suppl´ementaire :

∀n∈IN an>0 (II.4) L’objectif principal, apr`es quelques observations concernant la suite_∼

a_n

n∈IN, est de d´emontrer la propri´et´e (II.3)(th´eor`eme de Hardy et Littlewood).

II.C Majoration de la suite _∼ a_n

n∈IN

17) Pour toutx∈[0,1[ et toutn∈IN, montrer que f(x)>Anxⁿ. 18) Montrer l’existence d’un entierN >0 tel que

∀n>N f e^−1/n

6 2

1−e^−1/n 19) En d´eduire que la suite_∼

an

n∈IN est major´ee.

II.D Minoration, `a partir d’un certain rang, de_∼ an

n∈IN par un r´eel strictement positif On d´esigne parµ >0 un majorant de la suite_∼

a_n

n∈IN. 20) a) Pour toutx∈]−1,1[, montrer que (1−x)

+∞

X

k=0

Akx^k=f(x).

3

b) En d´eduire que pour tout x∈[0,1[ et toutN ∈IN^∗ f(x)

1−x 6A_N1−x^N 1−x +µ

+∞

X

k=N

(k+ 1)x^k

c) En d´eduire que pour tout x∈[0,1[ et toutN ∈IN^∗ f(x)6A_N−1+µ

(N+ 1)x^N +x^N+1 1−x

21) Soitλun r´eel strictement positif.

a) Montrer qu’il existe un entierN0>0 tel que pour toutN >N0

f e^−λ/N

> 1

2 1−e^−λ/N> N 2λ b) Montrer que pour toutN >N0

∼a_N−1> 1

2λ−µe^−λ 1 + 1

N + e^−λ/N 1 N 1−e^−λ/N

!

c) D´eterminer en fonction deλla limite, quandN tend vers l’infini, du membre de droite dans l’in´egalit´e pr´ec´edente.

d) Montrer qu’il existe un r´eelλ >0 tel que cette limite soit strictement positive.

22) Conclure qu’il existe un r´eelν >0 tel qu’`a partir d’un certain rang on ait<sup>∼</sup>a<sub>n</sub> >ν. II.E D´emonstration de la propri´et´e (II.3), due `a Karamata

Soitg: [0,1]→IR la fonction telle queg(x) = 1

x six>e⁻¹ et g(x) = 0 sinon.

On fixe un r´eelε∈]0, e⁻¹[. On d´efinit deux applications continuesg⁺ etg⁻ de [0,1] dans IR ainsi : – g⁺ est affine sur

e⁻¹−ε,e⁻¹

et co¨ıncide avecg sur

0,e⁻¹−ε

∪ e⁻¹,1 – g⁻ est affine sur

e⁻¹,e⁻¹+ε

et co¨ıncide avecg sur 0,e⁻¹

∪

e⁻¹+ε,1 Pour tout entierN >0 on posexN = e^−1/N.

On rappelle que dans cette sous-partie, on fait les hypoth`eses(II.1)et(II.4).

23) Calculer Z 1

0

g⁺(t) dtet Z 1

0

g⁻(t) dt.

24) SoitP un polynˆome `a coefficients r´eels. Montrer que

(1−x)

+∞

X

n=0

anxⁿP(xⁿ) −→

x→1⁻

Z 1

0

P(t) dt

On consid´erera d’abord le cas particulier de P =X^k, o`uk∈IN.

25) Etablir l’existence de deux polynˆomes P et Q`a coefficients r´eels tels que :

∀x∈[0,1] g⁻(x)−ε6P(x)6g(x)6Q(x)6g⁺(x) +ε 26) Etablir l’existence d’un entierN₁>0 tel que pour tout entierN >N₁

(1−x_N)

+∞

X

n=0

a_nxⁿ_NP(xⁿ_N)>

Z 1

0

P(t) dt−ε et (1−x_N)

+∞

X

n=0

a_nxⁿ_NQ(xⁿ_N)6 Z 1

0

Q(t) dt+ε

27) D´eduire des trois questions pr´ec´edentes que pour tout entierN >N₁ 1−5ε6(1−x_N)A_n61 + 5ε 28) Conclure.

4