Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚3
Vendredi 13 novembre, de 10h `a 13h
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Questions de cours
1. Donner la d´efinition d’une application injective.
2. ´Enoncer et d´emontrer le r´esultat sur la compos´ee de deux applications surjectives.
3. ´Enoncer la propri´et´e d’Archim`ede.
4. ´Enoncer la d´efinition de la borne inf´erieure d’une partie deR. 5. ´Enoncer la caract´erisation de la borne inf´erieure d’une partie deR. 6. ´Enoncer la propri´et´e de la borne inf´erieure (PBI).
7. Soit (x, y)∈C2et soitn∈N≥2. ´Enoncer et d´emontrer le r´esultat sur la factorisation dexn−ynparx−y.
Exercice 1 (Un calcul de somme)
Pour toutn∈N∗, on consid`ere la sommeSn d´efinie par : Sn=
Xn
k=1
k×k!
1. Pour toutn∈J1,4K, calculerSn, puis comparer le r´esultat `a (n+ 1)!.
2. D’apr`es 1., conjecturer une expression de Sn en fonction de (n+ 1)!, pour toutn∈N∗. 3. D´emontrer la conjecture ´emise en 2..
Exercice 2 (Borne sup´erieure et borne inf´erieure de l’ensemble des termes d’une suite) Pour toutn∈N∗, on pose :
un= 2n+ 1 2n−1. On noteA={un |n∈N∗}.
1. D´emontrer que pour toutn∈N∗ :
2n−1>0 2. D´emontrer que pour toutn∈N∗ :
un+1< un. 3. D´emontrer queAposs`ede un maximum.
4. Que dire de la borne sup´erieure ´eventuelle deA? 5. Justifier queAposs`ede une borne inf´erieure.
6. D´emontrer que inf(A) = 1.
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Exercice 3 (L’exponentielle complexe) On introduit l’applicationf d´efinie par :
f:C→C; z7→ez.
1. Soitz∈Cde forme alg´ebriquea+ib, o`u (a, b)∈R2. Justifier que :
|ez|=ea >0.
2. D´emontrer quef(C) =C∗. Qu’en d´eduire quant `a la surjectivit´e def? 3. D´emontrer que l’applicationf n’est pas injective.
Exercice 4 (Application dont une puissance est l’identit´e)
SoitE un ensemble non vide et soitf:E→E une application. On suppose qu’il existe n∈N≥2 tel que : fn:=f◦f◦. . .◦f
| {z }
nfois
=idE.
1. D´emontrer quef est bijective.
2. Montrer quef−1=fn−1:=f◦f◦. . .◦f
| {z }
n−1 fois
.
Exercice 5 (´Etude d’une fonction) Soitf la fonction d´efinie par :
f:x7→ x2e1x 3x−2.
On noteCf la courbe repr´esentative def, un rep`ere orthonorm´e du planP ´etant fix´e.
1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDf def. 2. Montrer quef est d´erivable surDf.
3. Calculerf′(x) pour toutx∈ Df. 4. ´Etudier les variations de f surDf.
5. D´eduire de la question pr´ec´edente les extrema locaux de f.
6. ´Etudier les limites def aux bornes de son intervalles de d´efinition.
7. Interpr´eter g´eom´etriquement certains r´esultats obtenus `a la question pr´ec´edente.
8. Soit (a, b) ∈ R∗ ×R. On dit que la droite d’´equation y = ax+b est asymptote oblique `a Cf en +∞
(respectivement en−∞) si :
f(x)−(ax+b) →
x→+∞0
resp. f(x)−(ax+b) →
x→−∞0
.
(a) D´emontrer qu’il existe (a, b)∈R∗×Rtel que la droiteDd’´equationy=ax+best asymptote oblique
`a Cf en +∞.
(b) D´emontrer que la droiteD d´etermin´ee `a la question pr´ec´edente est ´egalement asymptote oblique `a Cf en−∞.
9. Tracer l’allure deCf.
Exercice 6 (Plus petit ´el´ement figurant dans un uplet d’entiers) Ecrire un programme Python qui :´
1. demande `a l’utilisateur de saisir un uplet d’entiersu; 2. affiche la plus petite des composantes de u.
On renverra un message d’erreur si l’uplet saisi est vide (i.e. si l’utilisateur saisi l’uplet()).
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Probl`eme (Homographies)
Soit (a, b, c, d)∈R×R×R>0×R. Le discriminant de (a, b, c, d) est le r´eel ∆ d´efini par :
∆ =ad−bc.
On consid`ere la fonctionf d´efinie par : f:R\
−d c
→R; x7→ ax+b cx+d. 1. Sym´etrie de la courbe repr´esentative de f
On fixe un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→
j) du plan. Soit Ω le point de coordonn´ees
−d c,a
c
. Soit s la sym´etrie du planP de centre Ω d´efinie par :
s:P → P; M 7→ l’unique pointM′ deP tel que −−→
ΩM′=−−−→
ΩM .
(a) SoitM ∈ P de coordonn´ees (x, y). On note (x′, y′) les coordonn´ees de M′ =s(M). Exprimerx′ et y′ en fonction dexet y.
(b) D´emontrer que pour toutx∈R\
−d c
:
−x−2d c ∈R\
−d c
et f
−x−2d c
=−f(x) +2a c .
(c) Montrer que la courbe repr´esentative Cf de f est sym´etrique par rapport au point Ω, i.e. que s(Cf) =Cf.
2. Etude asymptotique de´ f en −∞et en +∞
(a) ´Etudier la limite ´eventuelle de f(x) quand xtend vers−∞ et la limite ´eventuelle def(x) quandx tend vers +∞.
(b) Interpr´eter g´eom´etriquement les r´esultats pr´ec´edents.
3. Sens de variation de f
On r´epondra aux questions de la partie 3., sans faire usage du calcul diff´erentiel.
(a) On suppose ici que ∆ = 0. Montrer quef est constante surR\
−d c
. (b) On suppose ici que ∆>0.
i. Montrer quef est strictement croissante sur
−d c,+∞
.
ii. D´eduire de la question pr´ec´edente et de 1.(b) que f est strictement croissante sur
−∞,−d c
. (c) On suppose ici que ∆<0. D´eduire de 3.(b) quef est strictement d´ecroissante sur
−d c,+∞
et que f est strictement d´ecroissante sur
−∞,−d c
.
4. Etude asymptotique de´ f en −d
c `a gauche et `a droite (a) ´Etudier la limite ´eventuelle de f(x) quand x tend vers −d
c par valeurs sup´erieures et la limite
´eventuelle def(x) quandxtend vers−d
c par valeurs inf´erieures.On distinguera plusieurs cas suivant le signe de∆.
(b) Interpr´eter g´eom´etriquement les r´esultats pr´ec´edents.
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5. Bijectivit´e d’une certaine corestriction de f dans le cas o`u∆6= 0 On suppose que ∆6= 0. On introduit la fonctiongd´efinie par :
g:R\
−d c
→R\na c
o ; x7→ ax+b cx+d. (a) D´emontrer que la fonctiong est bien d´efinie.
(b) D´emontrer queg est bijective et calculer sa r´eciproque g−1. On prˆetera une attention particuli`ere aux ensembles apparaissant dans l’´etude.
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