Arithm´etique LM 220, 2012-2013 Universit´e Pierre et Marie Curie
Devoir surveill´ e 2
Nom : Pr´enom :
Num´ero ´etudiant : TD :
6 novembre 2012
L’utilisation des documents, calculatrices et t´el´ephones portables est STRICTEMENT interdite. Les r´eponses doivent ˆetre soigneusement
justifi´ees. L’interpr´etation des ´enonc´es fait partie du devoir.
Dur´ee : 1h. Barˆeme indicatif : 4,5 + 4 + 4.
V´erifiez que les r´esultats de vos calculs sont corrects.
Brouillon
Exercice 1. Enoncer le th´eor`eme d’Euler et calculer ϕ(77).
Montrer que l’on a x30≡1 (mod 77), pour tout entier x∈Z tel que pgcd(x,77) = 1.
Brouillon
Exercice 2. D´eterminer tous les couples des entiers x, y ∈ Z tels que 123x+ 51y = 5 (resp. 123x+ 51y = 6).
Brouillon
Exercice 3. D´eterminer toutes les solutionsx∈Z du syst`eme de congruences suivant : x≡2 (mod 26), x≡3 (mod 57).