Devoir surveill´ e

DS5 de MP2 16.12.14

Devoir surveill´ e

Dur´ ee : 4 heures

Conseils g´en´eraux :

- Respirez un grand coup.

- Ne paniquez pas, vous r´esoudrez un certain nombre de questions si vous prenez le temps de rentrer dans le sujet. Si cela vous prend une heure pour retenir les notions introduites, ce n’est pas grave, il vous restera beaucoup de temps pour avancer dans le texte.

- Lisez le sujet en entier, pour voir les notions du cours qui pourraient ˆetre utiles, d’´eventuels liens entre les diverses questions.

- Il est essentiel de bien comprendre les notations et termes, en particulier la positivit´e ou la stricte positivit´e d’une matrice.

- Pour simplifier le probl`eme, ou pour vous donner des points plus ou moins faciles, j’ai ajout´e des questions bonus et des questions interm´ediaires sur cette feuille, chacune vous rapportera au moins un point si vous la traitez.

On pourra observer queM est stochastique si et seulement si : - M >0,i.e. M est `a coefficients positifs ou nuls.

- La somme des lignes deM est la matrice-ligne dentermes, tous ´egaux `a 1. Cela revient `a dire, en notant C la matrice colonne dentermes, tous ´egaux `a 1, que

tM C=C

Question bonusMontrer que l’ensemble des matrices stochastiques est stable par produit, et convexe (i.e.

pour toutes matrices stochastiquesM etN, toutt∈[0,1],tM+ (1−t)N est stochastique).

Question bonus V´erifier queM 7→ kMk₁ d´efinie dans l’´enonc´e est une norme d’alg`ebre sur Mn(K), i.e.

est une norme, et, pour tout (M, N)∈ Mn(K)²,

kM Nk₁6kMk₁kNk₁

Aide `a la r´esolution

1Non vide : v´erifier que 0∈Γx.

Ferm´e : montrer que pour touti∈[[1, n]], Γx,i

def= {θ∈R+, θxi 6(T x)i} est ferm´e.

Born´e : montrer qu’au moins un des Γx,iest born´e.

Question bonusMontrer que Γxest un segment.

2. Que vaut Γx,i lorsquexi = 0 ? Si xi6= 0, d´ecrire simplement Γx,i. 3 Que vaut ^{(T αx)}_αx ⁱ

i ?

4Que signifie x∈B ? P >0 ? Une fois ceci compris, utiliser la formule du produit matriciel.

Question bonusEn d´eduire que siX, Y ∈Rⁿ sont tels que X6Y etX 6=Y, alorsP X < P Y. 5 V´erifier que Γx⊂ΓP x. On pourra observer que P et T commutent.

Pour la seconde question, on pourra observer plus finement (en utilisant la question pr´ec´edente) queθP x <

T(P x), et que ΓP x est en fait un segment.

6Introduire la valeur propre αassoci´ee `a x. V´erifier queα >0 et utiliser 3.

7Raisonner par l’absurde : on sait que θ(x)x 6 T x. Que peut-on en d´eduire si θ(x)x 6= T x ? Quelle contradiction obtient-on ?

8

Question interm´ediaire Montrer que sig₁, . . . , g_n sont continues, alors min(g₁, . . . , g_n) l’est aussi.

Combiner ce r´esultat `a 2.

9Pourquoi peut-on appliquer le th´eor`eme des bornes atteintes ? 10 Prendrex∈C, et utiliser 5

11Que permet d’affirmer l’inclusion deC dansB ? Pour l’in´egalit´e en sens inverse, utiliser 3.

12Observer queP(C)⊂B, et utiliser 10.

Leet queθ(x₀) = sup_x∈Cθ(x) n’est l`a que pour vous aider dans la suite.

13 Utiliser 8.

14Utiliser l’in´egalit´e triangulaire, et la positivit´e des coefficients deT. 15V´erifier quex⁺∈B et queθ0= sup_y∈Bθ(y).

16 Calcul matriciel, in´egalit´e triangulaire, et d´efinition d’une matrice stochastique.

Leen d´eduire n’est pas difficile.

17Qu’obtient-on en combinant 13 et 16 ?

Question interm´ediaire V´erifier que 1 est valeur propre deT. Qu’en d´eduit-on surθ0 d’apr`es 16 ?

18Utiliser les remarques faites en pr´eambule dans ce guide.

19Montrer que pour toute matrice stochastiqueM, tout x∈Kⁿ : kM xk₁6kxk₁ Qu’en d´eduit-on surkMk₁ ?

20 T Rk−Rk se simplifie par t´elescopage.

21En dimension finie, toute suite born´ee admet une valeur d’adh´erence.

22Utiliser 20.

23Cela provient essentiellement du fait queR_l etR_m commutent : comment justifier ce fait ?

24On veut montrer quey=z. Pour ce faire, introduire des extractrices pour les suites extraites de (R_kx) convergeant versy etz respectivement, et utiliser la question pr´ec´edente.

25Que dire d’une suite born´ee qui n’a qu’une valeur d’adh´erence dans un evn de dimension finie ?

Pour d´efinirR, commencer par d´efinirRxpour toutx∈Cⁿ, puis montrer la lin´earit´e deR. Alternativement, on peut d´efinirR, lin´eaire, sur une base, et v´erifier qu’elle convient.

Pour montrer que lim_kkR_k−Rk₁= 0, utiliser une ´equivalence de normes.

26La question est : pourquoi le commutant d’une matrice est-il ferm´e ? 27Utiliser 20, puis simplifierRRk en revenant `a la d´efinition deRk. 28Plus explicitement, il s’agit de montrer que

Ker(R) = Im(T−In) et Im(R) = Ker(T−In) 29Laiss´ee au lecteur.