Devoir surveill´e

Dur´ee 2h, mat´eriel autoris´e : 1 calculatrice, le polycopi´e du cours.

La notation tient compte de la r´edaction et de la propret´e de la copie.

Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Exercice 1

jeu de d´e et loi des grands nombres [8.5 pts]

SoitX la v.a. ´egale au r´esultat du lancer d’un d´e cubique qui a ´et´epip´ede telle sorte que :

• ^P(X = 1) =^P(X = 2) =^P(X = 3) =a

• ^P(X = 4) =^P(X = 5) =^P(X = 6) =b

• 2a = 3b

ce d´e est utilis´e pour le jeu suivant : le joueur mise 3.5 Euros, lance le d´e et gagne le nombre d’euros ´egal `a la face sup´erieur de d´e et on noteY la v.a. ´egale augain total du joueur.

1. ´Etude de X

(a) Trouver a et b et faire le diagramme en bˆaton de la loi de X.

Indication : utiliser que^P(Ω) = 1 pour trouver une autre ´equation sura et b.

(b) Faire le tableau de valeurs de la fonction de r´epartition de X et tracer son graphe.

(c) Calculer ^E(X) et ^Var(X) 2. ´Etude de Y

(a) Exprimer Y en fonction deX.

(b) En d´eduire ^E(Y) et ^Var(Y) (c) Calculer ^P(Y ≥0)

3. Un joueur, qui ne sait pas que le d´e est pip´e, joue 100 fois `a ce jeu. Il note ses gains Y<sup>i</sup> `a chaque fois et constate qu’il a perdu 30 Euros ! ! Ce r´esultat l’´etonne et le joueur d´eclare `a l’organisateur du jeud’apr`es la loi des grands nombres on doit avoir

P

Y1+· · ·+Yⁿ

n −µ

≥σt

≤ 1 nt² donc il y a au moins 2/3 de chances pour que votre d´e soit pip´e

(a) Si le d´e n’´etait pas pip´e que vaudrait µ=^E(Y) et σ =p

Var(Y) ?

(b) Si le d´e n’´etait pas pip´e, pour un seuil de d´efaillance α = 1/3, que vaudrait l’´ecart th´eorique σt?

(c) Justifier le raisonnement du joueur en comparant l’´ecart entre la moyenne des gains th´eoriques et observ´es du joueur.

semestre 2

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calcul de

n

X

k=0

Cn^k

k+ 1 [4.5pts]

1. Calculer une expression simplifi´ee en fonction de n def(n) =Pⁿ

k=0Cn^k.

Indication : utiliser la formule du binˆome (a+b)ⁿ =. . . en choisissant judicieu- sement les valeurs de a et b

2. En d´eduire une expression simplifi´ee en fonction de n de

n

X

k=0

Cn+1^k+1. Indication : d´evelopper la somme pour la comparer avec f(n+ 1) 3. D´emontrer que Cn^k = k+ 1

n+ 1Cn+1^k+1, 0 ≤ k ≤ n. Que devient cette formule pour n = 0 ?

Indication : utiliser l’expression de Cn+1^k+1 avec des factoriels 4. En d´eduire que

n

X

k=0

Cn^k

k+ 1 = 2ⁿ⁺¹−1 n+ 1 Exercice 3

Parc informatique de l’IUT [7 pts]

Tous les r´esultats num´eriques de cet exercice, arrondis `a 10<sup>−4</sup> pr`es, peuvent ˆetre obtenus avec une des tables pages 62-63 du polycopi´e.

Le parc informatique d’un IUT est compos´e de 10 salles de TP contenant chacune 10 PC.

Pour chaque PC on estime `a

• 0.05 la probabilit´e qu’il tombe en panne une semaine donn´ee,

• 0.1 la probabilit´e qu’il soit infect´e par un virus

1. On choisit une salle de l’IUT, soitX la v.a. correspondant aunombre de machines de cette salle tombant en panne lors d’une semaine donn´ee :

(a) Quelle est la loi deX? (pr´eciser le ou les param`etres) (b) Calculer ^P(X = 0),^P(X ≥2)

(c) Calculer ^E(X) et ^Var(X)

2. Soit Y la v.a. correspondant au nombre total de machines de l’ IUT tombant en panne lors d’une semaine donn´ee :

(a) Quelle est la loi deY ? (pr´eciser le ou les param`etres)

(b) Par quelle v.a. Z, de loi plus simple, peut-on approcher Y ? (pr´eciser le ou les param`etres de la loi)

(c) En d´eduire une valeur approch´ee de ^P(Y = 5),^P(Y ≥2)

3. Pour ´eviter la propagation des virus dans le r´eseau de l’IUT on d´ecide de choisir au hasard 8 machines parmi les 100 de l’IUT pour en faire un scan anti-viral complet.

Soit S la v.a. ´egale au nombre de PC infect´es parmi les 8 machines tir´ees au hasard.

(a) Quelle est la loi deS? (pr´eciser le ou les param`etres) (b) Calculer ^E(S) et ^Var(S)

(c) Par quelle v.a. T, de loi plus simple, peut-on approcher S? (pr´eciser le ou les param`etres de la loi)

(d) En d´eduire une valeur approch´ee de ^P(S ≥1).

Correction

Consignes : Exercice 1

jeu de d´e et loi des grands nombres [8.5 pts]

SoitX la v.a. ´egale au r´esultat du lancer d’un d´e cubique qui a ´et´epip´ede telle sorte que :

• ^P(X = 1) =^P(X = 2) =^P(X = 3) =a

• ^P(X = 4) =^P(X = 5) =^P(X = 6) =b

• 2a = 3b

ce d´e est utilis´e pour le jeu suivant : le joueur mise 3.5 Euros, lance le d´e et gagne le nombre d’euros ´egal `a la face sup´erieur de d´e et on note Y la v.a. ´egale au gain total du joueur

1. ´Etude de X

(a) [1pt]la somme des probabilit´es doit faire 1 donca+a+a+b+b+b= 3(a+b) = 1 ce qui permet d’´ecrire un syst`eme de deux ´equations `a 2 inconnues pour trouver a et b

a+b = ¹₃ 2a = 3b

=⇒

a = ¹₅ b = ₁₅² ce qui donne le diagramme en bˆaton de la loi de X [0.5pt] :

(b) [1pt] Pour la fonction de r´epartition il faut faire le cumul des probabilit´es : t ]− ∞; 1[ [1; 2[ [2; 3[ [3; 4[ [4; 5[ [5; 6[ [6; +∞[

F(t) = 0 0.2 0.4 0.6 0.7333333 0.8666667 1

ce qui donne le graphe :

semestre 2

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(c) [1pt] formules g´en´erales :

E(X) = 1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.1333333+5×0.1333333+6×0.1333333 = 3.2 et

E(X²) = 1²×0.2 + 2²×0.2 + 3²×0.2 + 4²×0.1333333 + 5²×0.1333333 + 6²×0.1333333

= 196

15 ≈13.06666. . . d’apr`es la formule de koening :

Var(X) =^E(X²)−^E(X)² = 272

75 ≈2.826666. . . 2. ´etude de Y

(a) [0.5pt]On mise 3.5 euros et on gagne X euros donc le gain total du joueur est Y =X−3.5

(b) [1pt] On en d´eduit que ^E(Y) = ^E(X) −3.5 = −0.3 et ^Var(Y) = ^Var(X) =

272

75 ≈2.826666. . .

(c) [0.5pt] Calculer ^P(Y ≥ 0) =^P(X = 4) +^P(X = 5) +^P(X = 6) = 3b = 2a= 2/5 = 0.4

3. loi des grands nombres :

(a) [1pt] Si le d´e n’´etait pas pip´e on aurait que X ∼ U(1,6) donc µ = ^E(Y) = 3.5−3.5 = 0 et σ=p

Var(Y) = p

35/12≈1.7078251.

(b) [1pt] raisonnement classique sur la loi des grands nombres P

Y1+· · ·+Yⁿ

n −µ

≥σt

≤ 1 nt²

pour un seuil de d´efaillance α = 1/3 on a _100t¹2 = α = 33% =⇒ t = q

1 100α

donc σt=q

35

12×100×α ≈0.2958040

(c) [1pt] D’apr`es la loi des grand nombres si le d´e n’´etait pas pip´e on devrait avoir que l’´ecart entre le gain moyen observ´e−30/100 =−0.3 et le gain moyen th´eorique 0 est inf´erieur `a σt≈0.2958040 dans 2/3 des cas or ici ce n’est pas le cas et il n’y a qu’une chance sur 3 (α) pour que cela soit du au hasard.

Exercice 2

calcul de

n

X

k=0

Cn^k

k+ 1 [4.5pts]

1. [1pt] d´ej`a fait en TD, avec a=b = 1 on a f(n) =

n

X

k=0

Cn^k =

n

X

k=0

Cn^ka^kb^n−k= (a+b)ⁿ= 2ⁿ

2. [1pt] d´evelopper la somme :

n

X

k=0

Cn+1^k+1 =Cn+1¹ +Cn+1² +· · ·+Cn+1ⁿ⁺¹ =

n

X

k=0

Cn+1^k+1

!

−Cn+1⁰ =f(n+1)−1 = 2ⁿ⁺¹−1

3. [1pt] tr`es proche d’une question du TD1 : Cn^k = n!

(n−k)!k! = k+ 1

n+ 1 × n+ 1 k+ 1

n!

(n−k)!k!

= k+ 1

n+ 1 × (n+ 1)!

(n−k)!(k+ 1)!

= k+ 1

n+ 1 × (n+ 1)!

(n+ 1−(k+ 1))!(k+ 1)!

= k+ 1 n+ 1Cn^k+1+1

on pouvait aussi partir du membre de droite : k+ 1

n+ 1Cn^k+1+1 = k+ 1

n+ 1 × (n+ 1)!

(n+ 1−(k+ 1))!(k+ 1)!

= k+ 1

n+ 1 × (n+ 1)!

(n−k)!(k+ 1)!

= n!

(n−k)!k! =Cn^k

[0.5pt] Pour n = 0 on a forc´ement k= 0 puisque 0 ≤k ≤n ce qui donne C0^k =C0⁰ = 1

n+ 1Cn+1¹ = n+ 1 n+ 1 = 1 qui est ´evidement v´erifi´ee.

semestre 2

Devoir surveill´e

n

X

k=0

Cn^k

k+ 1 =

n

X

k=0

1 k+ 1

k+ 1

n+ 1Cn+1^k+1 cf. question 3)

=

n

X

k=0

1

n+ 1Cn+1^k+1 simplifier par k+ 1

= 1

n+ 1

n

X

k=0

Cn+1^k+1 mise en facteur 1/(n+ 1) (ne d´epend pas de k)

= 2ⁿ⁺¹−1

n+ 1 cf. question 2) Exercice 3

Parc informatique de l’IUT [7 pts]

Le parc informatique d’un IUT est compos´e de 10 salles de TP contenant chacune 10 PC. Pour chaque PC on estime `a

• 0.05 la probabilit´e qu’il tombe en panne une semaine donn´ee,

• 0.1 la probabilit´e qu’il soit infect´e par un virus

1. X = nombre de machines de cette salle tombant en panne lors d’une semaine donn´ee :

(a) [0.5pt] loi de X ∼ B(n= 10;p= 0.05) (b) [1pt] d’apr`es la table ^P(X = 0)≈59.87% et

P(X ≥2) = 1−(^P(X = 0) +^P(X = 1)) ≈8.62%

(c) [1pt]d’apr`es les formules ^E(X) =np= 0.5 et ^Var(X) = np(1−p) = 0.475 2. Y = nombre total de machines de l’ IUT tombant en panne lors d’une semaine

donn´ee :

(a) [0.5pt] loi de Y ∼ B(n= 100, p= 0.05)

(b) [0.5pt] d’apr`es le cours comme n > 30 et np = 5 on peut approcher Y par une loi de poisson Z ∼ P(λ = 5), ´enorm´ement d’erreurs du type np = 100×0.05 = 0.5 c’est grave quand mˆeme !

(c) [1pt]d’apr`es la table on peut dire que ^P(Y = 5)≈^P(Z = 5)≈17.55% et

P(Y ≥2) = 1−(^P(Y = 0) +^P(Y = 1))≈1−(^P(Z = 0) +^P(Z = 1))≈89.93%

3. S = nombre de PC infect´es parmi les 8 machines tir´ees au hasard (a) [1pt] Quelle est la loi de S∼ H(n= 8, p= 0.1, N = 100)

(b) [1pt] d’apr`es les formules ^E(S) =np= 0.8 et^Var(S) =np(1−p)^N−n_N−1 = ¹⁸⁴₂₇₅ ≈ 0.6690909090909. . .

(c) [0.5pt] d’apr`es le cours comme comme n = 8 < N/10 on peut approcher S par une loi binomiale B(n = 8, p = 0.1), mais on ne peut pas approcher cette loi par une loi de Poisson P(λ= 0.8) car n= 8 est trop petit ! (d) [0.5pt]on en d´eduit (d’apr`es la table) que ^P(S ≥1) = 1−^P(S = 0)≈56.95%