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Devoir surveill´ e n

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Academic year: 2022

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MHT 204 — Analyse 1 pour informaticiens Le 9 mars 2011

Devoir surveill´ e n

o

1 — Dur´ ee : 1h30

Exercice 1 (Question de cours). Enoncer le th´´ eor`eme de Bolzano-Weierstrass.

Exercice 2. Les suites ci-dessous sont-elles convergentes ? Si oui, d´eterminer leur limite.

Sinon, expliquer pourquoi.

a) un=n! + 2n

n! b)vn=n

r 1 + 1

n − r

1− 1 n

!

c) xn=(−1)nn2+ 1

n2+ 1 d)yn= 2nsin(√ n) n!

Exercice 3. 1. Soient (un) et (vn) deux suites, `a valeurs dans [0,1], telles que la suite (unvn) converge vers 1. Montrer que (un) et (vn) convergent vers 1.

2. Donner un exemple de deux suites r´eelles (an) et (bn) divergentes telles que (anbn) converge vers 1.

Exercice 4. La suite (tn) d´efinie par

tn = cos(n! +π2) n+ 1

est-elle une suite de Cauchy ? Justifiez bri`evement votre r´eponse.

Un corrig´e est disponible en ligne `a l’adresse

http://www.math.u-bordeaux1.fr/∼gilliber/enseignement.html

Références

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