DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Exercice 1 : Une propri´ et´ e g´ eom´ etrique des tangentes ` a des courbes int´ egrales
On consid`ere un intervalleI, des fonctions continuesaetb deIdansR, et l’´equation diff´erentielle (E) y0+a(x)y=b(x).
Soitx0∈I. Pour toutλ∈R, on note fλ l’unique solution deE valantλenx0,Cλ le graphe defλ, et on note Tλ la tangente `aCλ au point d’abscissex0.
On se propose de montrer que les droites Tλ (o`u λ d´ecrit R) sont soit toutes parall`eles, soit poss`edent un point commun, par deux m´ethodes.
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a Soitλ∈R. Donner une ´equation deTλ de la formey =αx+β (o`u α, βsont des r´eels d´ependant de λ, a(x0) etb(x0)).
b On suppose quea(x0) = 0. Montrer que toutes les droitesTλ (o`uλd´ecritR) sont parall`eles.
c On suppose quea(x0) 6= 0. Soit λ∈ R. Trouver un point ind´ependant deλ par lequel passeTλ, et conclure.
2Soitλ∈R.
a Montrer quefλ=λf1+ (1−λ)f0.
b Soit E0 : y =α0(x−x0) +β0 et E1 :y =α1(x−x0) +β1 des ´equations respectives de T0 et T1. Montrer que λE1+ (1−λ)E0 est une ´equation de Tλ. Conclure en utilisant la notion de faisceau de droites (inutile de montrer les r´esultats g´en´eraux sur cette notion) .
