Devoir non surveill´ e

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Un Produit Infini

1

a Montrer que pour toutθ∈R\2πZet toutn∈N^∗:

n

Y

k=1

cos θ

2^k = sin(θ) 2ⁿsin₂^θn

.

b Rappeler pourquoi lim

x→0 sin(x)

x = 1.

c En d´eduire que pour toutθ∈R\2πZ:

nlim→ ∞ n

Y

k=1

cos θ

2^k = sin(θ) θ .

d Montrer que cette formule est encore vraie si θ∈2πZ.

2En utilisant 1.a, ainsi qu’une d´eriv´ee logarithmique, montrer, pour toutx∈]0, π/2[, que :

lim

n→ ∞ n

X

k=1

1 2^k tan x

2^k = 1 x− 1

tanx.