DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Endomorphismes v´ erifiant u
2= ku
SoitE un espace vectoriel r´eel non r´eduit `a son vecteur nul.
On appellehomoth´etie (deE)un multiple par un r´eel de IdE. Pour tout r´eelλ,λIdEest appel´ee homoth´etie de rapportλ.
Soitkun r´eel donn´e. On noteAk l’ensemble des endomorphismesudeEtels que u2=ku.
1Soitf une homoth´etie deE.
a Montrer qu’il existe un unique r´eelλtel quef soit de rapportλ.
b Montrer quef est inversible (i.e.bijective) si et seulement si son rapport est non nul.
2Soitu∈Ak.
a upeut-il ˆetre inversible ? Qu’est-ce queudans ce cas ? b D´etermineru(x) pourx∈Imu.
c Montrer que sik6= 0, Imuet Kerusont des sous-espaces suppl´ementaires dans E. Que dire de Imu et Kerusik= 0 ?
Soientuetv deux endomorphismes deE appartenant `a Ak.On suppose dans cette partie que k6= 0.
3Montrer queuv+vu= 0 impliqueuv=vu= 0.
4
a Montrer queu+v∈Ak si et seulement siuv=vu= 0.
On se place dans le cas o`uu+v∈Ak. b Montrer que : Im(u+v) = Imu+ Imv.
c Montrer que : Ker(u+v) = Keru∩Kerv.
5Montrer que siuv=vu, alorsuv appartient `a un ensembleAk0 (pour un r´eel k0 que l’on d´eterminera), et que dans ce cas
Imuv= Imu∩Imv et Keruv= Keru+ Kerv.
