DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Courbure de cercles tangents
On consid`ere quatre cercles distinctsC1, C2, C3, C4de centres respectifs Ω1,Ω2,Ω3,Ω4, et de rayons respectifs R1, R2, R3, R4 non nuls. On suppose que chacun de ces quatre cercles est tangent aux trois autres, en trois points distincts. On appellecourbure deCi le nombre ρ0i =R1
i.
1Montrer qu’ou bien tous les cercles sont tangents ext´erieurement, ou bien l’enveloppe convexe d’un des cercles contient les trois autres cercles. S’ils sont tangents ext´erieurement, on pose ρi = ρ0i pour tout i ∈ {1,2,3,4}. Dans l’autre cas, on suppose que l’enveloppe convexe deC4 contient C1, C2, C3, et on poseρi =ρ0i pour touti∈ {1,2,3}, etρ4=−ρ04.
2Soit−→
Vi =−−−→
Ω4Ωi(16i63). Montrer que
−
→Vi·−→
Vj= (ρi+ρ4)(ρj+ρ4)−2ρ24 ρiρjρ24
sii, j∈ {1,2,3}, i6=j, et
−
→Vi·−→
Vi = (ρi+ρ4)2 ρ2iρ24 pouri= 1,2,3.
3Montrer que le d´eterminant
−
→V1·−→ V1 −→
V1·−→ V2 −→
V1·−→ V3
−
→V2·−→ V1 −→
V2·−→ V2 −→
V2·−→ V3
−
→V3·−→ V1 −→
V3·−→ V2 −→
V3·−→ V3 est nul.
Indication : on pourra utiliser le fait qu’´etant donn´e trois vecteurs du plan, l’un peut s’´ecrire comme combinaison lin´eaire des deux autres.
4Prouver que
−
→V1·−→ V1
−→ V1·−→
V2
−
→V1·−→ V3
−
→V2·−→ V1
−→ V2·−→
V2
−
→V2·−→ V3
−
→V3·−→ V1
−→ V3·−→
V2
−
→V3·−→ V3
= 4
ρ21ρ22ρ23ρ24
4
X
i=1
ρi
!2
−2
4
X
i=1
ρ2i
.
5En d´eduire que :
4
X
i=1
ρi
!2
= 2
4
X
i=1
ρ2i
