DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Exercice 1 : D´ erangements
SoitE un ensemble fini non vide. On appelle d´erangement deE toute permutationf deE sans point fixe, c’est-`a-dire telle que :
∀k∈E, f(k)6=k
Bien entendu, le nombre de d´erangements d’un ensemble fini ne d´epend que de son cardinal.
Pour tout entier naturel non nuln, on noteDern l’ensemble des d´erangements de [[1, n]], etdn son cardinal.
1Soitnun entier naturel non nul. Donner le cardinal de l’ensemble des permutations de [[1, n]].
2Calculerd1 etd2.
3On fixe un entier natureln>3, et, pour toutk∈[[1, n−1]], on consid`ere les ensembles Xk={f ∈Dern, f−1(n) =f(n) =k} et Yk ={f ∈Dern, f−1(n) =k, f(n)6=k}
Soitk∈[[1, n−1]]. Calculer les cardinaux deXk et deYk en fonction dedn−2et dn−1. Indication : on pourra ´etablir une bijection entreYk et Dern−1.
4En d´eduire, pour tout entier natureln>3, la formule :
dn= (n−1)(dn−1+dn−2)
5Montrer, pour toutn>2 :
dn =ndn−1+ (−1)n 6En d´eduire que pour tout entier naturel non nuln, on a :
dn = X
06k6n
(−1)kn!
k!
