Devoir non surveill´ e

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Exemples d’´ equations diff´ erentielles d’ordres 3 et 4

On cherche les solutions (r´eelles) surRde l’´equation diff´erentielle (E) y⁰⁰⁰=y, c’est-`a-dire les fonctionsf :R→Rtrois fois d´erivables, telles que

∀x∈R, f⁰⁰⁰(x) =f(x)

1Donner l’ensemble des solutions r´eelles surRde l’´equation diff´erentielle (F) y⁰=y

2Montrer quef est solution de (E) si et seulement sig=f⁰⁰+f⁰+f est solution de (F).

3En d´eduire l’ensemble des solutions de (E).

4Adapter cette m´ethode pour r´esoudre l’´equation y⁽⁴⁾=y (y⁽⁴⁾ d´esigne la d´eriv´ee quatri`eme dey).