Devoir de Math´ematiques
Exercice 1
1. D´emontrer la formule d’int´egration par parties en utilisant la formule de d´erivation d’un produit de deux fonctions d´erivables, `a d´eriv´ees continues sur un intervalle [a ; b].
2 points
2. Soient les deux int´egrales d´efinies par I =
Z π
0
exsinxdx etJ = Z π
0
excosxdx.
(a) D´emontrer queI =−J et que I =J+ eπ+ 1.
2 points
(b) En d´eduire les valeurs exactes de I et de J.
1 point
Exercice 2
On consid`ere la suite d’int´egrales (In) d´efinie par : In=
Z 1 0
xne1−xdx , n∈N
1. CalculerI0. 1 point
2. ´Etablir par int´egration par parties une relation entre In+1 etIn. 2 points
3. En d´eduire les valeurs exactes deI1 etI2. 2 points
4. D´eterminer la limite de la suite (In).
Bonus
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