D´ eriv´ ee d’un produit de fonctions d´ erivables
Note : Ce r´esum´e est ´ecrit par T. Zwissig. Il est ce qu’attend cet enseignant lors de l’oral de maturit´e.
Ce r´esum´e n’est pas une r´ef´erence pour les autres enseignants, leurs attentes sont certainement diff´erentes.
Th´eor`eme Produit de fonctions d´erivables
Soitf etg deux fonctions d´efinies sur un intervalleI.
Si f etg sont d´erivables surI
Alors 1°) la fonctionf g est d´erivable sur I,
2°) (f g)0(x) =f0(x)g(x) +f(x)g0(x) pour toutx∈I.
D´emonstration : Soita∈I.
x→alim
(f g)(x)−(f g)(a)
x−a = lim
x→a
f(x)g(x)−f(a)g(a)
x−a par d´efinition du produit
de fonctions
= lim
x→a
f(x)g(x)−f(a)g(x) +f(a)g(x)−f(a)g(a)
x−a car−f(a)g(x) +f(a)g(x) = 0
= lim
x→a
f(x)−f(a) (x−a)
g(x) +f(a)
g(x)−g(a) (x−a)
par r´earrangement des termes.
Par hypoth`ese,f est d´erivable ena, donc lim
x→a
f(x)−f(a) x−a
est un nombre, c’est le nombre d´eriv´ef0(a).
Par hypoth`ese,gest d´erivable ena, donc lim
x→a
g(x)−g(a) x−a
est un nombre, c’est le nombre d´eriv´eg0(a).
Puisquegest d´erivable ena, elle est continue enaet donc lim
x→ag(x) =g(a)∈R. Puisquef est d´erivable ena, en particulier le nombref(a) existe et donc lim
x→af(a) =f(a).
On peut donc d´ecomposer la limite ci-dessus ainsi:
= lim
x→a
f(x)−f(a) x−a
x→alimg(x) + lim
x→af(a) lim
x→a
g(x)−g(a) x−a
= f0(a)g(a) +f(a)g0(a) qui est un nombre donc
= (f g)0(a) le nombre d´eriv´e existe.
Il suit de la derni`ere ´egalit´e, f0(a)g(a) +f(a)g0(a) = (f g)0(a), que la fonctionf g est d´erivable en a et que la formule propos´ee en deuxi`eme conclusion est vraie pour a. De plus, les calculs ci-dessus sont ind´ependants du choix de a. Ils sont valables pour touta∈I. On conclut quef gest d´erivable surI et que (f g)0(x) =f0(x)g(x) +f(x)g0(x) pour toutx∈I.
