Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI − 2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚1
Vendredi 26 septembre, de 13h `a 15h
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Questions de cours
1. ´Enoncer la d´efinition d’un nombre complexe inversible ainsi que celle de l’inverse d’un tel.
2. D´emontrer que pour toutz ∈C :
Re(z)≤ |z|. 3. D´emontrer que pour toutz ∈C :
|1 +z| ≤1 +|z|. 4. ´Enoncer l’in´egalit´e triangulaire.
5. ´Enoncer le cas d’´egalit´e dans ≪l’in´egalit´e de droite≫ de l’in´egalit´e triangulaire.
Exercice 1 (´Equations trigonom´etriques) 1. R´esoudre l’´equation
2 sin2(x) + 5 cos(x) = 4 d’inconnue x∈R.
2. R´esoudre l’´equation
sin(2x) = cos2(x) d’inconnue x∈]−π, π].
Exercice 2 (Identit´e du parall´elogramme) 1. D´emontrer que pour toutz ∈C :
z z =|z|2. 2. Montrer que pour tout (z1, z2)∈C2 :
|z1+z2|2+|z1−z2|2 = 2(|z1|2+|z2|2).
3. Interpr´eter g´eom´etriquement l’identit´e obtenue en 2.
Exercice 3 (Majoration de la distance `a l’origine des points d’un cercle) 1. D´eterminer l’ensemble C des points du plan d’affixe z tels que :
|z−1 +i| = 2√ 2.
2. Repr´esenter graphiquement l’ensemble C avec pr´ecision.
On utilisera uniquement un compas pour ce faire.
3. Conjecturer qu’il existe un plus petit nombre r´eelM (explicite) tel que pour tout z ∈C:
|z−1 +i|= 2√
2 ⇒ |z| ≤M.
4. D´emontrer le r´esultat pr´ec´edent `a l’aide de l’in´egalit´e triangulaire.
Exercice 4 (Autour de l’angle moiti´e)
1. D´emontrer que pour toutz ∈C, z est imaginaire pur si et seulement siz =−z.
2. Soitθ ∈]−π, π[. On pose
z = 1−eiθ 1 +eiθ. (a) Montrer que le nombre z est bien d´efini.
(b) Montrer que z est imaginaire pur, sans calculer la forme alg´ebrique de z.
(c) Calculer la partie imaginaire de z.
Exercice 5 (Somme de nombres complexes de module 1, ´egale `a 1)
1. Soient a, b, ctrois nombres complexes de module 1 tels que a+b+c= 1. Le but de cette question est de montrer qu’alors un des trois nombres a, b, c vaut 1.
(a) Justifier que l’un des trois nombres a, b, c vaut 1 si et seulement si (a−1)(b−1)(c−1) = 0.
(b) Justifier que les nombres complexes a, b, csont inversibles, puis montrer que : 1
a =a et 1
b =b et 1
c =c.
(c) Conclure.
2. Soient a, b, c, d quatre nombres complexes de module 1 tels quea+b+c+d = 1. A-t-on n´ecessairement un des quatre nombres a, b, c, d ´egal `a 1 ?
Exercice d’informatique
Quelle est la valeur stock´ee dans la variable a, `a la fin de l’ex´ecution du programme Python suivant ?
1. a=1 2. b=3 3. a=b+a 4. b=2*a-b 5. a=a-b
