Intégrale dépendant d’un paramètre

(1)

Intégrale dépendant d’un paramètre

Exercice 1. Calcul de limite Chercher limx→0R2x

t=x

costln(1 +t²) sin²tsht dt.

Exercice 2. Calcul de limite, Ensi P 90 Calculer les limites : lim_x→0R3x

x

t

tan²tdtet lim_x→0 1 x³

Rx 0

t² t+e^3tdt.

Exercice 3. Calcul de limite Chercher lim_x→+∞ 1

x² Rx²+x

t=3

sintdt 3 + ln(lnt). Exercice 4. Calcul de limite

Chercher lim_x→0+Rx² t=x

e^−tdt sintlnt. Exercice 5. Série d’intégrales, Esem 91

Établir la convergence et calculer la somme deP∞

n=1(−1)ⁿR+∞

0

dt (1 +t³)ⁿ. Exercice 6. sin(t)/(t+x)

1) Prouver l’existence pourx >0 deI(x) =R+∞

t=0

sint t+xdt.

2) Déterminer limx→+∞I(x).

Exercice 7. Calcul de limite

Soitf : [0,1]→Rcontinue. Chercher lim_x→0⁺R1 t=0

xf(t) x²+t²dt.

Exercice 8. Calcul d’équivalent, Mines 1999 Donner un équivalent pourx→+∞deR+∞

t=0

sint x²+t²dt.

Soita >0. Donner le DL enx= 1 à l’ordre 3 de f(x) =Rax t=a/x

lnt a²+t²dt.

Exercice 10. (R f^x)^1/x

Soitf : [a, b]→R⁺ continue. On poseϕ(x) =Rb

t=a(f(t))^xdt^1/x . 1) Montrer queϕ(x) −→

x→+∞max(f).

2) On supposef >0 etb−a= 1. Montrer queϕ(x) −→

x→0⁺exp Rb

t=aln(f(t)) dt . Exercice 11. tⁿf(t)

SoitIn=R1

t=0tⁿln(1 +t²) dt. Montrer queIn −→

n→∞0.

Exercice 12. tⁿf(t)

Soitf : [0,1]→Rcontinue. Montrer queR1

t=0tⁿf(t) dt=f(1)

n +o(_n¹).

Exercice 13. f(tⁿ)

1) Soitf : [0,1]→Rcontinue. Montrer queR1

t=0f(tⁿ) dt −→

n→∞f(0).

2) Chercher un équivalent pourn→ ∞deR1 t=0

tⁿdt 1 +tⁿ. 3) Chercher un équivalent pourn→ ∞de−1 +R1

t=0

√1 +tⁿdt.

(2)

Donner les deux premiers termes du DL pour n→ ∞deIn =R1 t=0

dt 1 +tⁿ. Exercice 15. f(tⁿ)

Donner les deux premiers termes du DL pour n→ ∞deIn =R1 t=0

√1 +tⁿdt.

Chercher un équivalent pour n→ ∞deR1+1/n t=1

√1 +tⁿdt.

Exercice 17. Calcul de limite Déterminer lim_n→∞Rπ/2

x=0

sinⁿx x+ 2 dx.

Soitf : [0,1]→Rcontinue. Déterminer lim_n→∞R1

t=0nf(t)e^−ntdt.

Exercice 19. (1−x/n)ⁿ, Ensi PSI 1998

Soitx∈[0, n]. Montrer que (1−x/n)ⁿ 6e^−x. En déduire lim_n→∞Rn

x=0(1−x/n)ⁿdx.

Exercice 20. Équation intégrale, Ensi P 91

Déterminer les fonctionsf ∈ C⁰(R,R) telles que : ∀x∈R, f(x) +Rx

0(x−t)f(t) dt= 1.

Exercice 21. tanⁿt, Ensi Physique P 94 On poseIn =Rπ/4

0 tanⁿtdt.

1) Montrer queIn −→

n→∞0.

2) CalculerIn en fonction den.

3) Que peut-on en déduire ?

Exercice 22. Calcul de limite, École de l’Air 94 Chercher lim_n→∞R1

0

tⁿ−t²ⁿ 1−t dt.

Exercice 23. Approximation de la mesure de Dirac

Soitf : [a, b]→R⁺ continue atteignant son maximum en un unique pointc∈]a, b[.

1) Soitµ >0 tel que [c−µ, c+µ]⊂[a, b]. Chercher lim_n→∞

Rb

t=afⁿ(t) dt

Rc+µ

t=c−µfⁿ(t) dt

. 2) Soitg: [a, b]→R⁺ continue. Chercher lim_n→∞

Rb

t=afⁿ(t)g(t) dt

Rb

t=afⁿ(t) dt

. Exercice 24. Équation intégrale

Soit f : [0,+∞[→ R⁺ continue telle que f(x)Rx

t=0f²(t) dt −→

x→+∞` 6= 0. Trouver un équivalent de f en +∞.

Exercice 25. Convolution

Soient f, g:R→Rcontinues eta, b∈R. On pose ϕ(x) =Rb

t=af(t)g(x−t) dt.

1) Montrer queϕest continue et que si gest de classeC^k, alorsϕl’est aussi.

2) Montrer que sif est de classeC¹ (etg est continue), alorsϕest aussi de classeC¹. Exercice 26. Convolution (Mines MP 2003)

Soient f, g∈ C([0,+∞[,R). On pose h(x) =Rx

t=0f(x−t)g(t) dt.

1) Existence et continuité deh.

2) Peut-on inverserf etg ?

3) On supposef intégrable sur [0,+∞[ etg bornée. Montrer que hest bornée.

4) On prendf(x) = sinx

x et g(x) = cos(αx) avec 06α61. hest-elle bornée (on pourra étudier les cas α= 0 etα= 1) ?

(3)

Exercice 27. Calcul d’intégrale 1) Calculerϕ(a) =R1

t=0

dt 1 +at. 2) En déduire la valeur deR1

t=0

tdt (1 +at)². Exercice 28. Fonction définie par une intégrale

On poseϕ(x) =R1

t=0e^−x/tdt.

1) Montrer queϕest de classeC^∞ surR^+∗. 2) Vérifier queϕ⁰⁰(x) =e^−x

x .

Exercice 29. Fonction définie par une intégrale, Mines 1999 SoitI(α) =R+∞

x=0

x^α−1

1 +xdx. Montrer queI(α) existe et définit une fonction de classeC¹ sur ]0,1[. Écrire I(α) comme somme d’une série.

Exercice 30. Fonction définie par une intégrale On pose pourx>0 : f(x) =R+∞

t=0

ln(x²+t²) 1 +t² dt.

Calculer explicitement f⁰(x) et en déduire f(x) (on calculera f(0) à l’aide du changement de variable u= 1/t).

Exercice 31. Fonction définie par une intégrale On poseI(x) =Rπ/2

t=0 ln(cos²t+x²sin²t) dt.

1) Montrer queIest de classeC¹ surR^+∗. 2) CalculerI⁰(x) et en déduireI(x).

Exercice 32. Intégrale de Gauss

On considère les fonctions définies par : f(x) =Rx

t=0e^−t²dt²

etg(x) =R1 t=0

e^−x²^(1+t²⁾ 1 +t² dt.

1) Montrer quef et g sont dérivables et calculerf⁰ et g⁰. 2) Montrer quef(x) +g(x) =^π₄ pour toutx∈R⁺. 3) En déduire la valeur deR+∞

t=0 e^−t²dt.

Exercice 33. Intégrale de Gauss, Ensi PC 1999 On donne : R+∞

t=0 e^−t²dt=

√π

2 . Existence et valeur deR+∞

t=0 e^−(t²^+a²^/t²⁾dt.

Exercice 34. Fonction définie par une intégrale 1) SoitI(x) =R+∞

t=0 e^−t²cos(2xt) dt. Prouver que I est de classeC¹ surR. 2) Chercher une relation simple entreIet I⁰.

3) En déduire la valeur deI(x) (on admet queI(0) =

√π 2 ).

Exercice 35. Fonctions définies par des intégrales On pose, pourxréel,F(x) =R+∞

t=0

1−costx

t² dtet G(x) =R+∞

t=0

1−costx t√

1 +t² dt.

1) Montrer que les intégralesF(x) etG(x) convergent absolument pour toutxréel et queF(x) =|x|F(1).

2) Montrer que la fonctionF−Gest de classeC¹ sur R. En déduire queGest C¹ sur R^∗ et n’est pas dérivable en 0.

Exercice 36. Théorème de division des fonctionsC^∞ Soitf :R→Rde classeC^∞et g(x) =f(x)−f(0)

x six6= 0,g(0) =f⁰(0).

Vérifier queg(x) =R1

t=0f⁰(tx) dt. En déduire que gest de classeC^∞. Montrer de même que la fonctiong_k :x7→ 1

x^k

f(x)−f(0)−xf⁰(0)−. . .− x^k−1

(k−1)!f^(k−1)(0)

se pro- longe en une fonction de classe C^∞ en 0.

(4)

Exercice 37. y⁰⁰+y=f

Soitf :R→Rcontinue. On poseg(x) =Rx

t=0f(t) sin(x−t) dt. Montrer queg est l’unique solution de l’équation différentielle : y⁰⁰+y=f(x) telle quey(0) =y⁰(0) = 0.

Exercice 38. Fonction définie par une intégrale

Soitf :R→Rcontinue. On définit pourx∈R^∗ ety∈R: g(x, y) = 1 x

Rxy

t=xf(t) dt.

1) Montrer quegpeut être prolongée en une fonction continue sur R². 2) On suppose de plusf dérivable en 0. Montrer quegest de classeC¹. Exercice 39. Fonctions définies par des intégrales

Construire les courbes représentatives des fonctions suivantes : 1) f(x) =Rπ/2

t=−π/2|x+t|sintdt.

2) f(x) =Rx² t=x

dt lnt. 3) f(x) =Rx²

t=x

√ dt

t⁴+t²+ 1. 4) f(x) =R1

t=0

e^tdt t+x. 5) f(x) =Rπ/2

t=0 xexpsint x

dt.

6) f(x) =Rx t=0

ln(1 +xt) 1 +t² dt.

Exercice 40. Fonction définie par une intégrale

Montrer qu’il existe un unique réelx∈[0, π] tel queRπ

θ=0cos(xsinθ)θ. = 0. Calculer une valeur approchée dexà 10⁻² près.

Exercice 41. Développement en série, Ensam PSI 1998, Mines MP 1999 SoitI(α) =R+∞

x=0

sinαx e^x−1dx.

1) Justifier l’existence deI(α).

2) Déterminer les réelsaetb tels que : I(α) =P∞

n=1 a

b+n². 3) Donner un équivalent deI(α) quandα→+∞.

Exercice 42. Formule de Stirling Montrer queΓ(x+ 1)∼x^xe^−x√

2πxpourxréel tendant vers +∞.

Exercice 43. Développement en série, Mines 1999 Soitθ∈]0, π[. Montrer queR1

t=0

dt

e^−iθ−t =P∞ n=1

exp(inθ)

n .

Exercice 44. Fonction définie par une intégrale, X 1999 1) Calculerf(a) =R+∞

t=0 e^−t²cos(at) dt.

2) Soitg(a) =R+∞

t=0 e^−t²sin(at)

t dt; calculer lima→+∞g(a).

Exercice 45. Développement asymptotique Soient J(x) =Rπ/2

t=0

√ dt

sin²t+x²cos²t etK(x) =Rπ/2 t=0

costdt

√

sin²t+x²cos²t.

Calculer lim_x→0⁺(J(x)−K(x)) et montrer queJ(x) =−lnx+ 2 ln 2 +o_x→0+(1).

Exercice 46. Transformée de Laplace

Soitf : [0,+∞[→Rcontinue telle queR+∞

t=0 f(t) dt converge.

On poseϕ(a) =R+∞

t=0 e^−atf(t) dt.

1) Montrer queϕest de classeC^∞ sur ]0,+∞[.

2) Montrer queϕest continue en 0.

(5)

Exercice 47.

On pose pour n > 2 : vn = R1 x=0

1

1 +xⁿdx. Montrer que la suite (vn) converge. Nature de la série P(v_n−1) ?

Exercice 48.

On pose pourn>2,un =R+∞

x=0

1

1 +xⁿdx. Montrer que la suite (un) converge, puis que la sérieP(un−1) converge également.

Exercice 49. Centrale MP 2000

Domaine de définition de I(α) =R+∞

x=0

xlnx

(1 +x²)^αdx. CalculerI(2) etI(3). Déterminer la limite deI(α) en +∞.

Exercice 50. Centrale MP 2000 On considèref(x) =R+∞

t=0

dt t^x(1 +t).

1) Domaine de définition, monotonie, convexité def (sans dériverf).

2) Continuité, dérivabilité, calcul def^(k)(x).

3) Donner un équivalent def(x) en 0 et en 1.

4) Calculerf(1/n) pourn∈N,n>2.

Exercice 51. Ensae MP^∗ 2000

Soitα∈R. Trouver la limite deun=Pn k=1

sin(kα) n+k . Exercice 52. Polytechnique MP^∗ 2000

Existence et continuité def(x) =R+∞

t=−∞

e^−|x+t|cos(x+t)

p|t|(1 +|t|) dt. Montrer quef est intégrable.

1) Développer, pour toutx >0,s(x) =R+∞

t=0

sint

e^xt−1dt en série de fractions rationnelles.

2) Montrer qu’en 0⁺, s(x) est équivalente à π 2x. Exercice 54. X MP^∗2001

ÉtudierR+∞

t=0

e^−tx 1 +t²dt.

Exercice 55. Mines 2016 Soitϕ(x) =R+∞

t=0

e^itx 1 +t²dt.

1) Montrer queϕest définie et continue surR. 2) Justifier le caractèreC¹deϕsurR^∗. 3) Montrer queϕ⁰(x) =R+∞

u=0

iue^iu x²+u²du.

Exercice 56. Ensi MP 2004 Soitf(x) =R+∞

t=0

e^−t²^x 1 +t²dt.

1) Trouver le domaine de définition def. 2) Montrer quef est dérivable surR^+∗. 3) Calculerf−f⁰.

4) Donner un équivalent simple def⁰(x) pourx→+∞.

5) Montrer quef(x) =

√π 2√

x−

√π 4x√

x+o 1 x√ x

. 6) Tracer la courbe def.

(6)

Exercice 57. Ensea MP 2004 Soitα >0.

1) Montrer quef :x7→e^−αxRπ

θ=0cos(xsinθ)θ. est intégrable surR⁺. 2) CalculerI=R+∞

x=0f(x) dx. Indication : écrireI= lim_a→+∞Ra

x=0f(x) dx.

Exercice 58. X MP^∗2000

Étudier la limite en 0+ deI(x) =R+∞

t=0

e^−t−cost t e^−xtdt.

Exercice 59. ζet Γ

Montrer, pourx >1 : ζ(x)Γ(x) =R+∞

t=0

t^x−1 e^t−1dt.

Exercice 60. Centrale MP 2002 Soit f : x 7→ R+∞

t=0

dt

t^x+1+t+ 1. Déterminer son domaine de définition ; étudier sa continuité et sa monotonie. CalculerR+∞

t=1

dt

t^x+1+t et en déduire des équivalents et les limites def en 0 et en +∞.

Exercice 61. Polytechnique MP 2002

Soitα∈]0,^π₂[ etλ∈R. Chercher un équivalent pour n→ ∞deIn =Rα

x=0sin(x) exp(λnsin²(x)) dx.

Soit (an)_n∈Nla suite définie par a0= 1 etan= 1 n!

R1

t=0t(t−1). . .(t−n) dt.

1) Quel est le rayon de convergence de la série entièreP∞

n=0a_nxⁿ ? 2) Donner un équivalent dea_n.

Exercice 63. P∞ n=1

sin(nx)

n , Mines-Ponts MP 2004

Soitun(t) le terme général d’une série : un(t) =tⁿ⁻¹sin(nx) avec 0< x < π.

1) Étudier la convergence de la série.

2) CalculerPn

p=0u_p(t) =S_n(t). MettreS_n(t) sous la forme Pn(t)

Q(t) avecQ(t)> α,α >0.

3) Calculer lim_n→∞Sn(t) et lim_n→∞R1

t=0Sn(t) dt.

4) En déduireP∞ n=1

sin(nx) n .

Exercice 64. Lemme de Lebesgue, Centrale MP 2004

Soit f continue par morceaux définie surR, à valeurs dansC. 1) Soienta, b∈R. Montrer queRb

t=af(t) cos(nt) dt −→

n→∞0.

2) On suppose quef est intégrable sur ]0,+∞[. Soit un = Rnπ

t=0sin²(nt)f(t) dt. Montrer que (un)_n∈_N admet une limite quandn→ ∞et la préciser.

Exercice 65. Suite d’intégrales, Centrale MP 2004

Soit (f_n)_n∈_N^∗ une suite de fonctions définie par : ∀n∈N^∗, ∀x∈[0,1], f_n(x) =x+xⁿ 2

n

. 1) Montrer que (fn) converge simplement vers une fonctionϕ.

2) a)La convergence est-elle uniforme ? b) La convergence est-elle monotone ? 3) Soit, pourn∈N^∗,J_n=R1

x=0f_n(x) dx. Montrer queJ_n ∼ 2 n². Exercice 66. Mines-Ponts MP 2004

Soitf(x) =R1 t=0

1−t

lnt t^xdt. Étudier le domaine de définition def, sa dérivabilité, puis calculerf(x).

(7)

Exercice 67. Mines-Ponts MP 2004 SoitI(a) =R+∞

x=0

shx

x e^−axdx.

1) Quel est le domaine de définition deI ? 2) Étudier la continuité et la dérivabilité deI.

3) CalculerI(a).

Exercice 68. ENS Lyon MP^∗ 2004

1) Soitf : [a, b]→Rde classeC²etF(x) =Rb

t=af(t)e^−itxdtaveca <0< b. Montrer queF(x) −→

x→+∞0.

2) Montrer queF(x) =f(a)e^−iax−f(b)e^−ibx

ix +o(1/x).

3) Montrer la convergence de l’intégraleI=R+∞

t=−∞e^−it²^/2dt.

4) Soitg(x) =Rb

t=af(t)e^−ixt²^/2dt. Montrer queg(x) =I.f(0)

√x +o√1 x

. Exercice 69. Thm de d’Alembert-Gauss

SoitP ∈C[X] de degrén>1. Le but de cet exercice est de prouver queP admet une racine dansC. On suppose au contraire que P ne s’annule pas et on considère pourr>0,θ∈[0,2π] : f(r, θ) = rⁿe^inθ

P(re^iθ) et F(r) =R2π

θ=0f(r, θ) dθ.

1) Montrer queF est de classeC¹ sur [0,+∞[.

2) Vérifier queir∂f /∂r=∂f /∂θ. En déduire queF est constante.

3) Obtenir une contradiction.

Exercice 70. Étude d’intégrales, Mines-Ponts 2015 Soient f(x) =Rx

t=0

1−cost

t² dt etg(x) =Rx t=0

1−cost t dt.

1) Montrer quef et g sont de classeC¹ surR. Donnerf⁰(0) etg⁰(0).

2) Montrer quef admet en +∞une limite`finie. On admettra dans la suite que`=π/2.

3) Montrer queg(x) −→

x→+∞∞.

4) Montrer qu’il existe une suite (a_n) de réels positifs telle que pour tout n,f(a_n) = 1

n+ 1. Déterminer la monotonie de (an) et trouver un équivalent dean lorsquen→ ∞.

5) Montrer qu’il existe une suite (bn) de réels positifs telle queb0= 0 etRbn+1

t=b_n

1−cost

t dt= 1

n+ 1. Exercice 71. Transformée de Laplace, ENS 2014

Soitϕcontinue par morceaux bornée surR⁺à valeurs réelles, etF définie parF(λ) =R+∞

x=0 ϕ(x)e^−λxdx.

On suppose queϕchangenfois de signe. Montrer que F change au plusnfois de signe.

Exercice 72. Mines MP 2012

Déterminer la limite pourn→ ∞deR+∞

x=0 x^−1/n(1 +x/n)⁻ⁿdx.

Exercice 73. TPE 2016

Convergence et valeur deP∞

n=0(−1)ⁿRπ/2

t=0 cosⁿ(t) dt.

Exercice 74. Mines 2017

Que dire de ϕ : [a, b] → R continue telle que la série de terme général Rb t=a

ϕ(t) dt

t+ln(n) (bien définie pour n > e^−a) converge ? Indication: faire apparaître des séries.

(8)

solutions

Exercice 1.

=R2x t=x

1 t −5t

6 +o(t)

dt→ln 2.

Exercice 2.

t tan²t = 1

t +ϕ(t) avecϕprolongeable par continuité en 0, donc lim_x→0R3x x

t

tan²tdt= ln 3.

t²

t+e^3t =t²+o(t²) donc lim_x→0 1 x³

Rx 0

t²

t+e^3tdt=¹₃. Exercice 3.

Formule de la moyenne sur [3, x] et [x, x+x²]⇒lim = 0.

Exercice 4.

ln 2.

Exercice 5.

Pn

n=1(−1)ⁿR+∞

0

dt

(1 +t³)ⁿ =R+∞

0

1− (−1)ⁿ (1 +t³)ⁿ

dt 2 +t³ −→

N→∞

R+∞

0

dt

2 +t³ = π2^5/3 3√

3 . Exercice 6.

2) I(x) =R+∞

t=x

sin(t−x)

t dt= cosxR+∞

t=x

sint

t dt−sinxR+∞

t=x

cost

t dt −→

x→+∞0.

Exercice 7.

π 2f(0).

Exercice 8.

t=uxpuis intégration par parties⇒∼ 1 x². Exercice 9.

f⁰(x) = 2 lnx

a(1 +x²) ⇒f(1 +h) = 1

2a(h²−h³) +o(h³).

Exercice 10.

2) Soitε >0 : Pourxassez petit,

f(t)^x−1−xln(f(t))

6εxcar lnf est borné sur [a, b].

Donc

Rb

t=af(t)^xdt−1−xRb

t=aln(f(t)) dt

6εx, et ln

Rb

t=af(t)^xdt

−xRb

t=aln(f(t)) dt 62εx.

Exercice 13.

1) TCD 2) =

tln(1 +tⁿ) n

¹

t=0

−1 n

R1

t=0ln(1 +tⁿ) dt∼ ln 2 n . 3) 1

n R1

t=0

√ dt

1 +t+ 1 =2√

2−2 + 2 ln(2√ 2−2)

n .

Exercice 14.

1−ln 2

n +o(_n¹).

Exercice 15.

1 + 1 n

R1 t=0

√ dt

1 +t+ 1+o(_n¹) = 1 +2√

2−2 + 2 ln(2√ 2−2)

n +o(_n¹).

Exercice 16.

u=tⁿ⇒∼ 1 n

Re u=1

√1 +u u du.

Exercice 18.

f(0).

(9)

Exercice 19.

Soitfn(x) = (1−x/n)ⁿ si 06x6net fn(x) = 0 six > n. Alors fn(x)^simpl−→

n→∞e^−x et il y a convergence dominée.

Exercice 20.

f(x) = cosx.

Exercice 21.

1) I_n+I_n+2= _n+1¹ .

2) I_2k =_2k−1¹ −_2k−3¹ +. . .+⁽⁻¹⁾₁^k−1 + (−1)^{k π}₄, I2k+1=_2k¹ −_2k−2¹ +. . .+⁽⁻¹⁾₂^k−1 −(−1)^kln√

2.

3) ¹₁−¹₃+¹₅−. . .=^π₄ et ¹₁ −¹₂+¹₃−. . .= ln 2.

Exercice 22.

R1 0

tⁿ−t²ⁿ

1−t dt= 1

n+ 1 +. . .+ 1 2n −→

n→∞ln 2.

Exercice 23.

1) 1.

2) g(c).

Exercice 24.

Φ(x) =Rx

t=0f²(t) dt⇒Φ⁰Φ²→`²⇒Φ³∼3`²x⇒f =√

Φ⁰∼p³

`/(3x).

Exercice 26.

4) Pourα= 0 on ah(x) =Rx t=0

sint

t dt, quantité bornée car l’intégrale converge en +∞.

Pourα= 1 on ah(x) = cosxRx t=0

costsint

t dt+sinxRx t=0

sin²t

t dt, quantité non bornée car la deuxième intégrale diverge en +∞.

Pour 0 < α < 1, développer le cos(x−t) puis linéariser les produits obtenus. On obtient quatre intégrales convergentes, donchest bornée.

Exercice 27.

1) ln(1 +a)

a .

2) =−ϕ⁰(a) =ln(1 +a)

a² − 1

a(1 +a). Exercice 30.

f⁰(x) = π

x+ 1,f(x) =πln(x+ 1).

Exercice 31.

2) I⁰(x) = π

x+ 1, I(x) =πln x+ 1

2

. Exercice 32.

1) g⁰(x) =R1

t=0(−2x)e^−x²^(1+t²⁾dt=−2e^−x²p

f(x) =−f⁰(x).

Exercice 33.

u= a

t ⇒I=−1 2

dI da ⇒I=

√π 2 e^−2a. Exercice 34.

2) I⁰(x) =−2xI(x).

3) I(x) =

√π 2 e^−x².

(10)

Exercice 38.

1) g(x, y) =Ry

u=1f(ux) du.

2) ∂g

∂x = 1 x

yf(xy)−f(x)−Ry

u=1f(ux) du

−→x→0

y²−1 2 f⁰(0).

Exercice 39.

1) −2 de −∞à −π

2, 2 sinxde−π 2 à π

2, 2 de π 2 à +∞.

Exercice 40.

2.40< x <2.41.

Exercice 41.

2) a=α,b=α².

3) comparaison série-intégrale⇒I(α) −→

α→+∞

π 2. Exercice 42.

lnΓ est convexe, encadrer lnΓ(x) par les cordes passant par (bxc,lnΓ(bxc)).

Exercice 44.

1) f⁰(a) =−a

2f(a)⇒f(a) =

√π

2 exp(−a²/4).

2) g⁰(a) =f(a)⇒g(a) −→

a→+∞

π 2. Exercice 46.

1) Leibniz.

2) SoitF(x) =R+∞

t=x f(t) dt. On a ϕ(a) =F(0)−aR+∞

t=0 e^−atF(t) dt=F(0)−R+∞

u=0e^−uF(u/a) du.

Comme F est continue et F(x) −→

x→+∞0, la dernière intégrale tend vers zéro quand a → 0⁺ par convergence dominée.

Exercice 47.

vn −→

n→∞1 par convergence dominée. vn −1 = R1 x=0

xⁿ

1 +xⁿdx = 1 n

R1 u=0

u^−1/n

1 +udu∼ ln 2

n donc la série diverge.

Exercice 48.

u_n −→

n→∞1 par convergence dominée.

u_n−1 =R1 x=0

1 +xⁿ⁻² 1 +xⁿ −1

dx= 1 n

R1 u=0

u^1−1/n

1 +u (u^−2/n−1) du.

On a 06u^−2/n−1 = exp

−2 ln(u) n

−16−2 ln(u) n exp

−2 ln(u) n

d’où 06un 6 2

n² R1

u=0

u^1−3/n(−lnu)

1 +u du=O 1 n²

. Exercice 49.

I(α) est définie pour tout α >1.

I(2) = (x=e^u) =R+∞

u=−∞ ue^2u

(1 +e^2u)²du=R+∞

u=−∞ u

(e^u+e^−u)²du= 0 (parité).

I(3) =R+∞

u=−∞

ue^−u

(e^u+e^−u)³du=R+∞

u=0

−u(e^u−e^−u)

(e^u+e^−u)³ du=h u 2(e^u+e^−u)²

i+∞

u=0−R+∞

u=0

du 2(e^u+e^−u)²

=−R+∞

u=0

e^2udu

2(1 +e^2u)² =h 1 4(1 +e^2u)

i+∞

u=0=−1 8. I(α) −→

α→+∞0 par convergence dominée.

(11)

Exercice 50.

1) Df = ]0,1[. f est convexe sur ]0,1[ par intégration de l’inégalité de convexité pour x 7→ t^−x et f(x) −→

x→0,1+∞par convergence monotone doncf décroît puis recroît.

3) En 0 : 1

t^x(1 +t) = 1

t^x+1 − 1

t^x+1(1 +t) doncf(x) =R1 t=0

dt

t^x(1 +t)+ 1

x−R+∞

t=1

dt

t^x+1(1 +t) ∼ 1 x. En 1 : 1

t^x(1 +t) = 1

t^x− t^1−x

1 +t doncf(x) = 1 1−x−R1

t=0

t^1−x

1 +tdt+R+∞

t=1

dt

t^x(1 +t) ∼ 1 1−x. 4) f(1/n) = (t = uⁿ) = R+∞

u=0

nuⁿ⁻¹du

u(1 +uⁿ) = (v = 1/u) = R+∞

v=0

ndv

1 +vⁿ = π

sin(π/n) (formule bien connue. . .)

Exercice 51.

Si α∈2πZalorsun = 0 pour toutn. Sinon, u_n==R1

t=0

Pn

k=1t^n+k−1e^ikαdt

==R1 t=0

tⁿeîα−t²ⁿeî(n+1)α 1−teîα dt

n→∞−→ 0 par convergence dominée.

Exercice 52.

Ia=Ra

x=−a|f(x)|dx6Ra x=−a

R+∞

t=−∞

e^−|x+t|

p|t|(1 +|t|)dtdx=R+∞

t=−∞

Ra x=−a

e^−|x+t|

p|t|(1 +|t|)dxdt.

On a Ra

x=−ae^−|x+t|dx=

2−2e^−acht si|t|< a 2e^−|t|sha si|t|>a, doncIa6Ra

t=0

2 dt (1 +t)√

t+R+∞

t=a

4e^−tsha (1 +a)√

adt= 4 arctan(√

a) + 4e^−asha (1 +a)√

a 6cste.

Exercice 53.

1) s(x) =R+∞

t=0

P∞

k=1sin(t)e^−kxtdt.

On a|sin(t)e^−kxt| 6te^−kxt et R+∞

t=0 te^−kxtdt = 1

k² donc P∞ k=1

R+∞

t=0 |sin(t)e^−kxt|dt converge ce qui légitime l’interversion intégrale-série. D’oùs(x) =P∞

k=1

R+∞

t=0 sin(t)e^−kxtdt=P∞

k=1 1

k²x²+ 1. 2) Sachant (?) queR+∞

t=0

sint t dt=π

2, on obtient :

xs(x)−π 2 =

Z +∞

t=0

xsint

e^xt−1−sint t

dt

= Z +∞

u=0

1 e^u−1−1

u

sinu x

du

=−xh 1 e^u−1−1

u

| {z }

−→

u→0+

−1 2

cosu x

i+∞

u=0

+x Z +∞

u=0

−e^u (e^u−1)² + 1

u²

| {z }

−→

u→0+

1 12

cosu x

du

=x(quantité bornée) −→

x→0⁺0.

Exercice 54.

Fonction de xde classe C^∞ sur ]0,+∞[, décroissante de limiteπ/2 en 0⁺ et 0 en +∞. Demi-tangente verticale en 0⁺, Équivalente à 1/xen +∞(par IPP). Équation différentielle : f(x) +f⁰⁰(x) = 1/x.

(12)

Exercice 55.

2) Intégrer par parties : ϕ(x) = he^itx ix × 1

1 +t² i+∞

t=0

| {z }

=−1/ix

− Z +∞

t=0

e^itx

ix × −2t

(1 +t²)²dt. On peut alors dériver sous l’intégrale pourx6= 0 sans problème.

3) Pourx >0 on poseu=txdans l’intégrale : ϕ(x) =xR+∞

u=0

e^iu

x²+u²du, d’où

ϕ⁰(x) = Z +∞

u=0

e^iu

x²+u²du−2x² Z +∞

u=0

e^iu (x²+u²)²du

= Z +∞

u=0

e^iu u²−x² (x²+u²)²du

=h

e^iu −u x²+u²

+∞

u=0

| {z }

=0

+ Z +∞

u=0

iue^iu x²+u²du.

L’intégration par parties est justifiée par la convergence de deux termes sur trois (et donc l’inégrale obtenue pourϕ⁰ est elle aussi convergente).

Pourx <0 les calculs sont similaires avecR−∞

u=0 au lieu deR+∞

u=0. . . Exercice 56.

1) [0,+∞[.

3) f(x)−f⁰(x) =R+∞

t=0 e^−t²^xdt= (u=t√ x) =

√π 2√

x. 4) f⁰(x) = −1√

x R+∞

u=0

u²e^−u²

x+u² du= −1 x√

x R+∞

u=0

u²e^−u²

1 +u²/xdu∼ −1 x√

x R+∞

u=0u²e^−u²du= −√ π 4x√

x. Exercice 57.

2) Thm de Fubini : R+∞

x=0 f(x) dx=Rπ θ=0

R+∞

x=0 Re(e^(−α+i^sinθ)x) dx θ. =Rπ θ=0

α θ.

α²+ sin²θ = √ π 1 +α² (couper enθ=π/2 et poseru= tanθ).

Exercice 58.

I⁰(x) =R+∞

t=0(cost−e^−t)e^−xtdt= x

1 +x²− 1

x+ 1 doncI(x) = ln 1 +x² (1 +x)²

+ cste etI(x) −→

x→+∞0 d’où cste = 0. AlorsI(x) −→

x→0⁺0.

Exercice 60.

Df = ]0,+∞[. Il y a domination locale, doncf est continue.

De même, pourx >0 on af⁰(x) =R+∞

t=0

−ln(t)t^x+1 (t^x+1+t+ 1)²dt.

En coupant l’intégrale en 1 et en posantu= 1/tdans l’intégrale sur [1,+∞[ il vient : f⁰(x) =R1

t=0ln(t)t^x+1 1

(t+t^x+1+t^x+2)² − 1 (t^x+1+t+ 1)²

dt <0 car ln(t)<0 ett^x+2<1 sit∈]0,1[.

Doncf est strictement décroissante sur ]0,+∞[.

R+∞

t=1

dt

t^x+1+t =R+∞

t=1

P∞ k=0

(−1)^k

t^(k+1)x+1dt= (domination du reste avec le CSA) =P∞ k=0

(−1)^k

(k+ 1)x = ln 2 x .

f(x)−R+∞

t=1

1 t^x+1+t

=R1

t=0

dt

t^x+1+t+ 1+R+∞

t=1

dt

(t^x+1+t)(t^x+1+t+ 1) 6R1 t=0

dt

t+ 1+R+∞

t=1

dt t(t+ 1) = 2 ln 2 doncf(x) = ln 2

x +O_x→0+(1).

Pour x→+∞, on a avec le TCM séparément sur [0,1] et sur [1,+∞[ : f(x) −→

x→+∞

R1 t=0

dt

t+ 1 = ln 2.

(13)

Exercice 61.

Pour λ 6= 0 : In = hexp(λnsin²(x)) 2λncos(x)

i^α

x=0−Rα x=0

sin(x)

2λncos²(x)exp(λnsin²(x)) dx = exp(λnsin²(α)) 2λncos(α) − 1

2λn− Jn

2λn avec 06Jn 6 In

cos²(α). DoncIn∼ exp(λnsin²(α))

2λncos(α) siλ >0 etIn∼ − 1

2λn siλ <0.

Exercice 62.

1) Pour 06t61 on at(1−t)(n−1)!6t(1−t). . .(n−t)6n! d’où 1

6n 6|an|61 etR= 1.

2) (−1)ⁿa_n =R1

t=0t(1−t)(1−t/2). . .(1−t/n) dt. Pour 06x6 ₂¹ on ax6−ln(1−x)6x+x²(étude de fonction) donc pourk>2 et 06t61 : e^−t/k−t²^/k² 61−t/k6e^−t/k d’où :

bn= Z 1

t=0

t(1−t)e^−t(Hⁿ^−1)−t²^Kⁿdt6(−1)ⁿan6 Z 1

t=0

te^−tHⁿdt=cn

avecH_n= 1 + 1/2 +. . .+ 1/n etK_n= 1/2²+. . .+ 1/n². Équivalent du majorant :

cn =1−(1 +Hn)e^−Hⁿ

H_n² ∼ 1

H_n².

Équivalent du minorant :

bn >

Z 1 t=0

t(1−t)(1−t²Kn)e^−t(Hⁿ⁻¹⁾dt

= Z 1

t=0

te^−t(Hⁿ⁻¹⁾dt− Z 1

t=0

t²(1 +t(1−t)K_n)e^−t(Hⁿ⁻¹⁾dt

>

Z 1 t=0

te^−t(Hⁿ⁻¹⁾dt−(1 +¹₄K_n) Z 1

t=0

t²e^−t(Hⁿ⁻¹⁾dt

>1−H_ne^1−Hⁿ

(H_n−1)² −(1 +¹₄K_n)2−(H_n²+ 1)e^1−Hⁿ (H_n−1)³

∼ 1 H_n².

Finalement,a_n∼ (−1)ⁿ

H_n² ∼ (−1)ⁿ ln²n. Exercice 63.

1) P

un(t) converge pour|t|<1.

2) Pn(t) =tⁿ⁺¹sin(nx)−tⁿsin((n+ 1)x) + sin(x),Q(t) =t²−2tcos(x) + 1 = (t−cosx)²+ sin²x>sin²x.

3) Pour|t|<1 on aS_n(t) −→

n→∞

sint

Q(t)et il y a convergence dominée vu la minoration deQdonc l’intégrale suit : R1

t=0S_n(t) dt −→

n→∞

R1 t=0

sinxdt

t²−2tcosx+ 1 = (t−cosx=usinx) =Rtan(x/2) u=−cotx

du

u²+ 1 = π−x 2 . 4) sin(nx)

n =R1

t=0u_n(t) dtd’où P∞ n=1

sin(nx)

n =π−x 2 . Exercice 64.

2) sin²(nt) =1−cos(2nt)

2 , donc il suffit d’étudierI_n=Rnπ

t=0cos(2nt)f(t) dt.

PosonsI_n,p=Rmin(n,p)π

t=0 cos(2nt)f(t) dt: on a|I_n−I_n,p|6R+∞

t=pπ|f(t)|dt, quantité indépendante den et tendant vers 0 quandp→ ∞donc le théorème d’interversion des limites s’applique :

lim_n→∞In = lim_n→∞lim_p→∞In,p= lim_p→∞lim_n→∞In,p= 0. On en déduit un −→

n→∞

1 2

R+∞

t=0 f(t) dt.