FONCTIONS DÉFINIES PAR UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D’UN PARAMÈTRE. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

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�� FONCTIONS DÉFINIES PAR UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D’UN PARAMÈTRE. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

I. Généralités sur les intégrales à paramètre

I. A. Régularité

[BP��, §�.�, p��–��] [BMP��, §�.�, p��]

Soit(E,A, µ)un espace mesuré etUun espace métrique. On considèref : U◊E ≠æCet on pose lorsque cela à un sensF(t) =s

Ef(t, x)dµ(x)pourtœU. T��. [�� ]

Supposons que :

• pour touttœU,x‘≠æf(t, x)est mesurable,

• pourµ-presque toutx,u‘≠æf(t, x)est continue ent₀,

• il existegintégrable telle que pour touttœU,|f(t, x)|Æg(x)µ- p.p..

AlorsFest bien définie surUet est continue ent₀.

A��. Continuité de la transformée deF��d’une fonctionL¹(R^d).

T��. [�� ]

SiUest un intervalleIdeR, supposons que :

• pour touttœI,x‘≠æf(t, x)est intégrable surE,

• pourµ-presque toutx,u‘≠æf(t, x)est dérivable surI,

• il existegintégrable telle que pour touttœI,---^ˆfˆt(t, x)---Æg(x)µ- p.p..

AlorsFest définie, dérivable surIetF^Õ:t‘≠æs

E ˆf

ˆt(t, x)dµ(x).

A��. Prenantf : (t, x)‘≠æ ^sin(x)x e^≠^tx, on montre ques+Œ 0 sin(x)

x dx=^ﬁ₂.

C��. [�� ]

SiUest un intervalleIdeR, supposons que pour unkœN^ú:

• pour touttœI,x‘≠æf(t, x)est intégrable surE,

• pourµ-presque toutx,t‘≠æf(t, x)estC^ksurI,

• pour1 Æ i Æ k, il existegiintégrable telle que pour toutu œ I,---^ˆˆuⁱ^fⁱ(t, x)--- Æ gi(x) µ- p.p..

AlorsFestC^ksurIetFⁱ:t‘≠æs

E ˆⁱf

ˆtⁱ(t, x)dµ(x)pour tout1ÆiÆk.

E��. La fonction :z‘≠æsŒ

0 e^≠tt^z≠1dtestC^ŒsurR^ú+.

T��. [�� ]

Supposons queUest un ouvert deCetf : ◊E≠æCtels que :

• pour toutzœ ,x‘≠æf(z, x)est mesurable surE,

• pourµ-presque toutx,u‘≠æf(z, x)est holomorphe sur ,

• il existegintégrable telle que pour toutzœ ,|f(z, x)|Æg(x)µ- p.p..

AlorsFest holomorphe sur et pour toutkØ0,F^(k):z‘≠æs

E ˆ^kf

ˆz^k(z, x)dµ(x).

E��. est holomorphe sur{Ÿ(z)>0}.

A��. admet un unique prolongement méromorphe surC, holomorphe sur C\≠N. Celui-ci ne s’annule pas et de plus1/ est une fonction entière.

I. B. Comportement asymptotique

[Gou��, §�.�, p��]

T��. [I�� ]

SoientI= [a, b[un intervalle semi-ouvert deR,f :I≠æRetg:I≠æR^ú+des applications continues par morceaux surI. Alors lorsquexæb^≠:

f =o(g) f =O(g) f ≥g

sb

ag <+Œ sb

xf =o(sb

xg) sb

xf =O(sb

xg) sb xf ≥sb

xg sb

ag= +Œ sx

a f =o(sx

a g) sx

a f =O(sx

a g) sx a f ≥sx

a g

A��.

• ln(x) =sx 1 1

tdt=xæ+Œo(x^–)pour tout–>0.

• sx

1 e^≠tln(t)dt=xæ1⁺o(e^1≠x) =o(x≠1).

P��. [�� L��] [Rou��, p��]

Soient[a, b[un intervalle deR,Ï: [a, b[≠æRde classeC²etf : [a, b[≠æCtelle quee^≠^t⁰^Ïf soit intégrable pour un certaint₀œR. On suppose quefest continue enaetf(a)”= 0, et que Ï^Õ>0sur]a, b[,Ï^Õ(a) = 0etÏ^ÕÕ(a)>0. Alors :

⁄ b a

e^≠^tÏ(x)f(x)dx _tæ+Œ≥

Ú ﬁ

2Ï^ÕÕ(a)

e^≠^tÏ(a)f(a) Ôt

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.

A��.

• [�� S��] (t+ 1)≥tæ+ŒÔ2ﬁt!_t

e"t

• Pour–>0,s

R+x^≠^–xt^xdx≥Ò

e2ﬁ–t^1/(2–)exp!_–t^1/–

e ".

II. Produit de convolution

[BP��, Ch��, p��–��] [QZ��, ChIX.III, p��]

On se place surE = R^doùdest un entier quelconque. Soitp œ [1,+Œ]etqson exposant conjugué.

D��. [��]

On appelle convolution def etgla fonctionf ıg : x ‘≠æ s

R^df(y)g(x≠y)dy, lorsque celle-ci est bien définie.

T��.

(i) Sif œL¹etgœL^p, alorsfıgexisteµ-p.p. etÎfıgÎpÆ ÎfÎ1ÎgÎp. (ii) Sif œL^petgœL^q, alorsfıgexiste pour toutxetÎfıgÎ_ŒÆ ÎfÎpÎgÎq.

De plus, si1< p, q <+Œ, alorslim_|x|æ+Œfıg(x) = 0.

P��. La convolution est commutative, associative et bilinéaire surL¹(R^d). Au- trement dit,(L¹(R^d),+,ı)est une algèbre deB��. Elle est cependant sans unité.

A��. La somme de deux variables aléatoires indépendantes définies surR^det de densités respectivesf, gpar rapport à la mesure deL��a pour densitéfıg.

E��. SiG‡ :t‘≠æ ^Ô_2ﬁ‡¹ 2e^≠^2‡^x²², alorsG‡ıG‡^Õ =G‡+‡^Õ

P��. Sif œCc^k(R^d)etf œL¹(R^d), alorsfıgœC^k(R^d)et

’|–|Æk,ˆ^–(fıg) = (ˆ^–f)ıg

D��. [�� ’�� ]

Une suite(–n)nØ1de fonctions positives deL¹est une approximation de l’unité si :

• pour toutnœN, on as

R^d–nd⁄d= 1,

• pour toutÁ>0, on alimnæ+Œs

{xØÁ}–nd⁄d= 0.

Si de plus les(–n)nØ1sont de classeCc^Œ, alors on dit que c’est une suite régularisante.

E��. [�� ’�� ]

On considère„:x‘≠æexp(_ÎxÎ¹2≠1)1_]0,1](ÎxÎ)puis–:x‘≠æ s^„(x)

Rd„d⁄d. Alors la suite–n:x‘≠æn^d–(nx)est une suite régularisante.

P��. Soientp <+Œ,f œ L^p(R^d)et(–n)nœNune approximation de l’unité.

Alorsfú–n L^p næ+Œ≠æ f.

A��. [�� ]

SoitKun compact deR^det un ouvert contenantK. Alors il existe◊ œ C^Œ(R^d)telle que

◊= 1surK,◊= 0surR^d\ et0Æ◊Æ1.

T��. Cc^Œ(R^d)est dense dansL^ppour1Æp <+Œ.

A��. Sif œL^petgœL^q,fıgest uniformément continue.

III. Transformée de F��

[BP��, Ch��, p��] [Rud��, Ch�, p��]

D��. Pourf œL¹(R^d), on définit sa transformée deF��par : F(f) :’‘≠æfˆ(’) =⁄

R^df(x) e^≠ⁱ^È^x^|^’^Í^dx

D��. Pourf œL¹(R^d), on notefˇl’applicationx‘≠æf(≠x).

P��. Fest linéaire et pourf œL¹(R^d),fˆest uniformément continue et bornée.

T��. [�� R��-L��]

Sif œL¹(R^d)alorsfˆœC0(R^d).

P��. Soientf, gœL¹(R^d).

(i) fˆˇ= ˆf = ˇˆf,

(ii) F(fıg) =F(f)F(g),

(iii) Si·hest l’opérateur de translation parhœR^dalorsF(·hf)(’) = e^≠ⁱ^È^h^|^’^ÍF(f)(’).

(iv) Pour⁄>0,F(f(./⁄)) =⁄fˆ(⁄.)

(3)

A��. La transformée deF��d’une gaussienne est une gaussienne. On aGˆ‡:

’‘≠æe^≠^‡²²^’².

P��. F:L¹(R^d)≠æC⁰(R^d)est injective et continue.

A��. En probabilité, la fonction caractéristique caractérise la loi d’une variable aléatoire.

D��. [�� S��]

On définit la classe deS��surR^d, notéeS(R^d), comme l’ensemble des fonctionsf œ C^Œ(R^d)telles que :

’pœN, Np(f) = sup

|–|Æp,|—|Æp xœRsup^d

--x^—ˆ^–f(x)--<+Œ

On munit cet espace de la famille dénombrable de semi-normes(Np)pœN, il est donc métri- sable (espace deF��).

E��. Cc^Œ(R^d)µS(R^d)etG‡œS(R^d).

P��. Pourf œS(R^d), on afˆœS(R^d).

P��. S(R^d)est complet et s’injecte continument dans lesL^p(R^d), dans lesquels il est dense pourp <+Œ.

P��. S(R^d)est stable par dérivation, multiplication interne, multiplication par un polynôme (ces opérations étant continues).

P��. Pour–,—œNⁿetf œS(R^d), on a :

’’œ R^d, F(ˆ^–f)(’) =i^|^–^|’^–F(f)(’) et F(.^—f)(’) =i^|^—^|ˆ^—F(f)(’)

C��. Sif œL¹(R^d)est telle quefˆœL¹(R^d), alors

’xœR^d, f(x) = 1

(2ﬁ)^dfˆˆ(≠x) p.p.

En particulierfest égale p.p. à une fonctionC0(R^d).

E��. On aF(e^≠|^x^|) :’‘≠æ _1+’²². On en déduit queF(_1+x¹2) :’‘≠æﬁe^≠|^’^|.

C��. [�� F�� S(R^d)]

F:S(R^d)≠æS(R^d)est un automorphisme continu et on aF^≠1:f ‘≠æ _(2ﬁ)¹^dF( ˇf).

A��. [�� ’EDP] [Bon��, §�.�, p��]

• On considère l’équation de la chaleurˆtu=ˆ_x²uavec condition initialef œS(R^d). Alors il existe une unique solutionuœC²(R◊R^d)telle queu(t, .)œS(R^d)uniformément ent sur tout compact etu(t, .) ≠æ_tæ0 fdansL¹. Cette solution est donnée par :

’t >0,’xœR^d, u(t, x) = 1 (4ﬁt)^d/2

⁄

R^df(y) e^≠^|^x^≠^4t^y^|² dy=fıkt(x) oùkt= 1

(4ﬁt)^d/2e^≠^|^.^4t^|²

• On considère l’équation deS��ˆtu = iˆ_x²uavec condition initialef œ S(R).

Cette équation possède une unique solutionuœC²(R◊R)telle que pour toutt,u(t, .)œ S(R)uniformément entsur tout compact. On a :

’t >0,’xœR^d, u(t, x) = 1 2ﬁ

⁄

R

fˆ(’) e^≠i’²^te^ix’d’

P��. Sif, gœS(R^d)alors

⁄

R^df(x)ˆg(x)dx=⁄

R^d

fˆ(x)g(x)dx

T��. [�� F��-P��]

Fse prolonge en un unique opérateur linéaire (toujours notéF) deL²(R^d)dans lui-même vérifiant :

• F¶F= (2ﬁ)^dId,ˇ

• Pourf œL²(R)^d,ÎfÎ²L² = _(2ﬁ)¹d

.. .fˆ...²_L₂,

• Pourf, gœL²(R^d),s

R^df(x)g(x)dx= _(2ﬁ)¹d

s

R^dfˆ(x)ˆg(x)dx.

R��. La définition deFci-dessus coïncide avec celle surL¹, il n’y a donc pas d’ambiguïté.

E��. On calcule1\_[≠1,1] : ’ ‘≠æ 2 sinc(’). Les deux fonctions étantL²(R), on en déduit quesinc =‰ ﬁ1_[≠1,1].

(4)

��

Les intégrales à paramètres sont l’analogue des séries de fonctions si on voit l’intégrale comme une généralisation de la somme. On voudrait donc voir les propriétés de la régularité de ces in- tégrales, c’est l’objet de la première partie. Notons également des propriétés de comportement asymptotique (méthode deL��).

Le cas particulier du produit de convolution qui est une intégrale à paramètres : bonne structure cependant sans unité, mais on peut essayer d’approcher ces unités via une approximation de l’unité. On peut alors par exemple construire des fonctions plateaux et avoir des résultats de densité.

Ensuite les transformées deF��, qui sont l’analogue continu des séries deF��. On a envie d’étendre la transformée deF��via l’espace deS��qui est un espace dans le- quel tout se passe bien. Cela permet notamment d’obtenir le théorème d’inversion deF��

et d’étendre la transformée deF��à de nouvelles fonctions. Cela o�re de nombreuses applications en ÉDP : l’esprit des méthodes de résolution est de passer enF��pour obtenir des ÉDO, plus simples, puis repasser en temporel.

Notons aussi des applications en probabilités via la fonction caractéristique qui va caractériser la loi d’une variable aléatoire.

��

Q Quelle est l’idée derrière la méthode deL��?

R On cherche l’endroit « qui va le plus compter dans l’intégrale », c’est-à-dire l’endroit où l’ex- ponentielle est la plus importante. Voir l’explication heuristique du [Rou��].

Q Et pour la phase stationnaire?

R En un point stationnaire, la fonctionÏest à peu près constante, on perd en quelque sorte le caractère oscillant autour de ce point. C’est donc cette partie de l’intégrale qui va compter, alors que le reste va plus ou moins s’annuler par oscillations.

Q SoitF :x‘≠æs+Œ

0 1

t^x(1+t)dt. Trouver son domaine de définition, montrer que la fonction est continue. Donner le comportement deFen0.

R Soit f : (t, x) ‘≠æ t^x(1+t)¹ .f(., x) œ C⁰(R^ú+) est mesurable, f(t, x) ≥ t¹^x en0 donc est intégrable si et seulement six < 1, puisf(t, x) ≥ t^x+1¹ en+Œest intégrable si et seulement six+ 1>1. AinsiFest définie sur]0,1[.

Comportement en0: si jamais on avait dut^1/xon aurait pourt <1,t^1/x≠æ0et sit >1, t^1/x≠æ+Œ.

Pour s’y ramener, procédons au changement de variables u = t^x, qui donne du =

x

texp(e ln(t))dt= ^x_tudt, ou encoredu/u=xdt/t, et finalementdt=xlnt=u^1/x. Ainsi : F(x) =⁄ +Œ

0

u^1/x

xu²(1 +u^1/x)du= 1 x

⁄ +Œ 0

u^1/x u²(1 +u^1/x)du Pouru <1,_u2(1+u^u^1/x^1/x)≠æ0. Pouru >1,_u2(1+u^u^1/x^1/x)≠æ1/u².

��

[BMP��] V.B��, J.M��et G.P��:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,��.

[Bon��] J.-M.B��: Théorie des distributions et analyse deF��. Les éditions de l’École Polytechnique,��.

[BP��] M.B��et G.P��:Théorie de l’intégration. Vuibert,�^èmeédition,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,��.

[QZ��] H.Q��et C.Z��:Analyse pour l’agrégation. Dunod,�^èmeédition,��.

[Rou��] F.R��:Petit guide de calcul di�érentiel. Cassini,��.

[Rud��] W.R��:Analyse réelle et complexe. Dunod,�^èmeédition,��.

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