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Exercice 1 (Intégrale à paramètre sur un intervalle borné) Étudier la continuité puis le caractèreC1 des fonctions suivantes : F(x

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Academic year: 2022

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Mathématiques, Université de Nice Sophia-Antipolis, L2 - Analyse 3 - Fiche 7 - Intégrales à paramètres.

Exercice 1 (Intégrale à paramètre sur un intervalle borné) Étudier la continuité puis le caractèreC1 des fonctions suivantes :

F(x) =

Z 1 0

cos(t2+x2)dt, G(x) =

Z 1 0

sin(tx) 1 +t dt.

Exercice 2 (Intégrale à paramètre sur un intervalle non borné)

1) Déterminer l'ensemble de dénition puis étudier la continuité et le caractèreC1 des fonctions suivantes :

F(x) =

Z +∞

0

sin(tx)

1 +t3 dt, G(x) =

Z +∞

0

tcoste−xtdt.

2) Étudier la continuité puis le caractère C1 sur]0,+∞[ de la fonction H(x) =

Z +∞

0

1 t2+x2 dt.

On pourra commencer par l'étude sur des intervalles [a,+∞[ aveca >0. Exercice 3 (Intégrale de Gauss)

Soit la fonctionF : [0,+∞[→R dénie par

F(x) =

Z 1 0

e−(t2+1)x2 1 +t2 dt.

1) Montrer queF est de classeC1 et obtenir une expression de F0(x) en fonction de G(x) =

Z x 0

e−t2dt.

2) En déduire que la fonctionH =F +G2 est constante.

3) Montrer queF(x)tend vers 0 lorsque x→+∞et conclure à la valeur de Z +∞

0

e−t2dt. Exercice 4 (Calcul avec la dérivée)

Soit la fonction

F(x) =

Z +∞

0

sin(tx) t e−tdt.

1) Montrer que la fonctionF est dénie et continue sur R. 2) Montrer que la fonctionF est de classe C1 sur R. 3) CalculerF0 et en déduire une expression explicite de F. Exercice 5 (Avec une équation diérentielle)

Soit la fonction

F(x) =

Z +∞

0

cos(tx)e−t2dt.

1) Montrer que la fonctionF est dénie et continue sur R. 2) Montrer que la fonctionF est de classe C1 sur R. 3) Montrer queF est solution de l'équation diérentielle

y0+1

2xy= 0.

4) En déduire une expression explicite de F.

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