Intégrales généralisées : Compléments
Table des matières
1 Intégration sur un intervalle quelconque. 2
2 Règles de calcul sur les intégrales convergentes 3
3 Convergence absolue. 4
4 Critères de convergence. 4
5 Convergence des intégrales de référence. 5
6 Pratique de l’intégration par parties pour les intégrales sur un intervalle quelconque. 6
7 Changement de variables. 6
8 Reste d’une intégrale convergente. 7
9 Étude de la fonction Gamma. 7
1 Intégration sur un intervalle quelconque.
Definition 1 : On suppose que f est définie et continue sur[a,b[avec a∈Ret b∈]a,+∞]. L’intégrale Z b
a
f(t)dt est alors qualifiée d’impropre en la borneb. On dit que l’intégrale
Z b
a
f(t)dt est convergente en la bornebsi et seulement
si :lim
x→bx<b
Z x
a
f(t)dt∈Ret la valeur de l’intégrale se note alors : Z b
a
f(t)dt=lim
x→bx<b
Z x
a
f(t)dt .
Definition 2 : On suppose que f est définie et continue sur]a,b]avec b∈Ret a∈[−∞,b[. L’intégrale Z b
a
f(t)dt est alors qualifiée d’impropre en la bornea. On dit que l’intégrale
Z b
a
f(t)dt est convergente en la borneasi et seulement
si :limx
→a x>a
Z b
x
f(t)dt∈Ret la valeur de l’intégrale se note alors : Z b
a
f(t)dt=xlim
→a x>a
Z b
x
f(t)dt .
Definition 3 : On suppose que f est définie et continue sur]a,b[avec−∞¶a<b¶+∞. L’intégrale Z b
a
f(t)dt est alors qualifiée d’impropre en la borneaet en la borneb.
Zb a
f(t)dt converge⇔ ∃c∈]a,b[/ Zc
a
f(t)dt et Zb
c
f(t)dt convergent⇔ ∀c∈]a,b[
Zc a
f(t)dt et Zb
c
f(t)dt convergent.
Dans ce cas on pose : Z b
a
f(t)dt= Z c
a
f(t)dt+ Z b
c
f(t)dt
La relation de Chasles prouve que cette valeur est indépendante du point c∈]a,b[.
Remarque Zb
a
f(t)dtdiverge⇐⇒ ∃c∈]a,b[/ Z c
a
f(t)dtdiverge ou Z b
c
f(t)dtdiverge.
RemarqueSoitf une fonction définie et continue sur]a,b[avec−∞¶a<b¶+∞. L’intégrale
Z b
a
f(t)dtconverge⇐⇒lim
x→a x>a
lim
y→b y<b
Z y
x
f(t)dt
∈R⇐⇒lim
y→b y<b
limx→a x>a
Z y
x
f(t)dt
!
∈R
En cas de convergence on a : Z b
a
f(t)dt= lim
x→ax>a
lim
y→b y<b
Z y
x
f(t)dt
= lim
y→b y<b
limx→a x>a
Z y
x
f(t)dt
!
Definition 4 Soit f :]a0,a1[∪]a1,a2[∪ · · · ∪]ap−1,ap[−→Rcontinue avec−∞¶a0<a1<· · ·<ap¶+∞. On pose a=a0et b=ap. On dit que l’intégrale
Z b
a
f(t)dt converge lorsque Z ak+1
ak
f(t)dtconverge pour tout k∈[[0,p−1]]. En
cas de convergence, on pose Zb
a
f(t)dt=
p−1
X
k=0
Zak+1
ak
f(t)dt .
RemarqueSoit(a,b)vérifiant :−∞¶a< b¶+∞. Si l’intégrale impropre Z b
a
f(t)dt converge alors on convient que l’intégrale
Za
b
f(t)dtconverge et que : Za
b
f(t)dt=− Z b
a
f(t)dt.
Théorème 5 : Intégrale faussement impropre
Soit(a,b)∈R2, a<b. Soit f :[a,b[−→Rcontinue. On suppose quelim
x→bx<b
f(x) =`∈Ralors Z b
a
f(t)dt converge.
Théorème 6 : Intégrale faussement impropre
Soit(a,b)∈R2, a<b. Soit f :]a,b]−→Rcontinue. On suppose quelim
x→ax>a
f(x) =`∈Ralors Z b
a
f(t)dt converge.
2 Règles de calcul sur les intégrales convergentes
Théorème 7 Relation de Chasles
On suppose que f est continue sur[a,b[. Alors, pour tout réel c∈[a,b[, les intégrales Z b
a
f(t)dt et Z b
c
f(t)dt sont de la même nature. De plus, en cas de convergence de l’une de ces intégrales, on a :
Z b
a
f(t)dt= Z c
a
f(t)dt+ Z b
c
f(t)dt Théorème 8 Linéarité
Soit(a,b)vérifiant :−∞¶a<b¶+∞. Soit(λ,µ)∈R2. Si les intégrales
Z b
a
f(t)dt et Z b
a
g(t)dt convergent alors l’intégrale Z b
a
(λf(t) +µg(t))dt converge et on a : Zb
a
(λf(t) +µg(t))dt=λ Z b
a
f(t)dt+µ Z b
a
g(t)dt Remarques
•Soitλ∈R?. Z b
a
f(t)dtet Zb
a
λf(t)dtsont de même nature ; de plus en cas de convergence : Z b
a
λf(t)dt=λ Z b
a
f(t)dt.
•Si Z b
a
f(t)dtconverge et Z b
a
g(t)dtdiverge alors Z b
a
(f(t) +g(t))dtdiverge.
•Si Z b
a
f(t)dtdiverge et Z b
a
g(t)dtdiverge alors on ne peut rien dire de la nature de Zb
a
(f(t) +g(t))dt.
Théorème 9 Positivité
On suppose que f est continue sur[a,b[. Si f est positive sur[a,b[et si
Z b
a
f(t)dt converge alors Zb
a
f(t)dt¾0.
Théorème 10 On suppose que f estcontinueetpositivesur[a,b[. Alors Z b
a
f(t)dt=0⇐⇒ ∀t∈[a,b[ , f(t) =0.
Exercice 1 Soit f :[1,+∞[−→Rune fonction continue telle que Z+∞
1
f(t)dt=1.
Montrer qu’il existe un réel x0∈]1,+∞[tel que x02f(x0) =1.
Théorème 11 Croissance
On suppose que f et g sont continues sur[a,b[.
Si f ¶g (c’est-à-dire∀t∈[a,b[, f(t)¶g(t)) et si les intégrales Z b
a
f(t)dt et Z b
a
g(t)dt convergent alors
Z b
a
f(t)dt¶ Z b
a
g(t)dt.
RemarqueOn a énoncé ces propriétés pour des intégrales généralisées sur un intervalle semi-ouvert[a,b[; elles sont encore vraies dans le cas des autre intervalles.
3 Convergence absolue.
Definition 12 : On dit que l’intégrale
Z b
a
f(t)dt estabsolument convergente(ou bien qu’elleconverge absolument) lorsque l’intégrale
Z b
a
|f(t)|dt converge.
Théorème 13 Convergence absolue et convergence Si l’intégrale
Z b
a
f(t)dt est absolument convergente (−∞¶a<b¶+∞) alors elle est convergente et on a :
Zb
a
f(t)dt
¶ Z b
a
|f(t)|dt
4 Critères de convergence.
Théorème 14 On suppose que f est continue et positive sur[a,b[avec a∈Ret b∈]a,+∞]. Alors,
•l’intégrale Zb
a
f(t)dt converge si et seulement si l’application x7→
Zx
a
f(t)dt est majorée sur[a,b[.
•l’intégrale Zb
a
f(t)dt est divergente si et seulement si lim
x→b x<b
Z x
a
f(t)dt= +∞.
Théorème 15 On suppose que f et g sont continues etpositivessur[a,b[avec a∈Ret b∈]a,+∞]. On suppose que :∀t∈[a,b[, f(t)¶g(t). Alors :
•si l’intégrale Z b
a
g(t)dt converge alors l’intégrale Z b
a
f(t)dt converge ,
•si l’intégrale Z b
a
f(t)dt diverge alors l’intégrale Z b
a
g(t)dt diverge .
Théorème 16 On suppose que f et g sont continues sur[a,b[avec a∈Ret b∈]a,+∞]. On suppose que : f(t) ∼
t→bg(t)et que g estpositiveau voisinage de b.
Alors, les intégrales Z b
a
f(t)dt et Z b
a
g(t)dt sont de la même nature.
Théorème 17 On suppose que f et g sont continues sur[a,b[avec a∈Ret b∈]a,+∞], que g estpositive au voisinage de b et que : f(t) = o
t→b(g(t)). Alors : Z b
a
g(t)dt converge =⇒ Z b
a
f(t)dt converge .
On a les mêmes théorèmes pour les intégrales généralisées Z b
a
f(t)dt oùf :]a,b]−→Rcontinue.
Théorème 18 On suppose que f est continue et positive sur]a,b]avec b∈Ret a∈[−∞,b[. Alors,
•l’intégrale Zb
a
f(t)dt converge si et seulement si l’application x7→
Zb
x
f(t)dt est majorée sur]a,b].
•l’intégrale Zb
a
f(t)dt est divergente si et seulement si lim
x→ax>a
Z b
x
f(t)dt= +∞.
Théorème 19 On suppose que f et g sont continues et positives sur]a,b]avec b∈Ret a∈[−∞,b[. On suppose que :∀t∈]a,b], f(t)¶g(t). Alors :
•si l’intégrale Z b
a
g(t)dt converge alors l’intégrale Z b
a
f(t)dt converge ,
•si l’intégrale Z b
a
f(t)dt diverge alors l’intégrale Z b
a
g(t)dt diverge .
Théorème 20 On suppose que f et g sont continues]a,b]avec b∈Ret a∈[−∞,b[. On suppose que : f(t)t∼
→ag(t)et que g estpositiveau voisinage de a.
Alors, les intégrales Z b
a
f(t)dt et Z b
a
g(t)dt sont de la même nature.
Théorème 21 On suppose que f et g sont continues sur]a,b]avec b∈Ret a∈[−∞,b[, que g estpositive au voisinage de a et que : f(t) = o
t→a(g(t)). Alors : Z b
a
g(t)dt converge =⇒ Z b
a
f(t)dt converge .
5 Convergence des intégrales de référence.
Théorème 22 • Z+∞
0
e−αtdt converge⇐⇒α >0 De plus∀α >0 Z+∞
0
e−αtdt=1 α.
•
Z+∞
1
dt
tαdt converge⇐⇒α >1
•Soit(a,b)∈R2, a<b , Z b
a
dt
(b−t)αdt converge⇐⇒α <1
•Soit(a,b)∈R2, a<b Zb
a
dt
(t−a)αdt converge⇐⇒α <1 En particulier
• Z1
0
dt
tαdt converge⇐⇒α <1
Exercice 2 Justifier que l’intégrale Z+∞
1
sin(t)
t2 dt est convergente.
Exercice 3 Prouver que l’intégrale Z+∞
0
sin(t)
t dt est convergente.
Exercice 4 On suppose que Z b
a
f(t)dt et Z b
a
g(t)dt sont absolument convergentes (−∞¶a<b¶+∞).
Montrer que Z b
a
(f(t) +g(t))dt est absolument convergente et comparer : Z b
a
|f(t) +g(t)|dt avec Z b
a
|f(t)|dt+ Z b
a
|g(t)|dt.
Exercice 5 Montrer que Z1
0
sin 1
t
dt converge.
6 Pratique de l’intégration par parties pour les intégrales sur un intervalle quelconque.
Nous n’énoncerons pas de théorème particulier. Dans la pratique, pour effectuer une intégration par parties sur une intégrale impropre, on se ramènera d’abord à une intégrale sur un segment (cf la définition de la convergence de l’intégrale impropre) puis on effectuera l’intégration par parties proprement dite et enfin on passera à la limite sur la(les) borne(s) impropre(s) de l’intégrale.
Exercice 6 Soit n∈N?. Montrer la convergence et faire le calcul de l’intégrale : Z+∞
0
tne−tdt.
Exercice 7 1)Soit(a,b)∈R2avec o<a<b. Calculer Z b
a
ln
1+ 1 t2
dt à l’aide d’une intégration par parties.
2)En déduire que Z+∞
0
ln
1+ 1 t2
dt converge et calculer sa valeur.
Exercice 8 Montrer la convergence et faire le calcul de Z1
0
(lnx)ndx.(n∈N?)
7 Changement de variables.
Théorème 23 On suppose que f est continue sur]a,b[(a< b, a et b pouvant être infinis). Soitϕ:]α,β[→]a,b[ une application de classeC1 sur]α,β[ strictement monotone et bijective de ]α,β[ dans ]a,b[. Alors, les intégrales Z b
a
f(x)dx et Zβ
α
f(ϕ(t))ϕ0(t)dt sont de même nature. De plus, en cas de convergence,
•siϕest strictement croissante sur]α,β[on a : Z b
a
f(x)dx= Zβ
α
f(ϕ(t))ϕ0(t)dt
•siϕest strictement décroissante sur]α,β[on a : Z b
a
f(x)dx=− Zβ
α
f(ϕ(t))ϕ0(t)dt
Exercice 9 Montrer que Z1
−1
dx p1−x2
converge et la calculer à l’aide du changement de variable x=sint.
Exercice 10 1) Montrer que Z+∞
0
e−t2dt converge.
2) Montrer que :
Z+∞
0
e−u pudu=2
Z+∞
0
e−t2dt (on pourra poser u=t2).
Remarques
•Soita∈]0,+∞]. Soitf :]−a,a[−→Rcontinue etpaire. Alors Z a
−a
f(t)dtconverge ⇐⇒
Za
0
f(t)dtconverge
et en cas de convergence on a : Z a
−a
f(t)dt=2 Za
0
f(t)dt.
•Soita∈]0,+∞]. Soitf :]−a,a[−→Rcontinue etimpaire. Alors Z a
−a
f(t)dtconverge ⇐⇒
Za
0
f(t)dtconverge
et en cas de convergence on a : Z a
−a
f(t)dt=0.
8 Reste d’une intégrale convergente.
Definition 24 : Reste d’une intégrale convergente.
On suppose que f est continue sur[a,b[(avec a∈Ret b∈]a,+∞]) et que l’intégrale Z b
a
f(t)dt impropre en b est convergente. On appelle reste de l’intégrale
Zb
a
f(t)dt, l’application
x∈[a,b[7−→
Z b
x
f(t)dt= Z b
a
f(t)dt− Z x
a
f(t)dt.
Théorème 25 On suppose que f est continue sur[a,b[et que l’intégrale Z b
a
f(t)dt impropre en b est convergente.
alors le reste de l’intégrale Z b
a
f(t)dt tend vers 0 lorsque x→b
x<b . Definition 26 : Reste d’une intégrale convergente.
On suppose que f est continue sur]a,b](avec b∈Ret a∈[−∞,b[) et que l’intégrale Zb
a
f(t)dt impropre en a est convergente. On appelle reste de l’intégrale
Zb
a
f(t)dt, l’application
x∈]a,b]7−→
Zx
a
f(t)dt= Z b
a
f(t)dt− Z b
x
f(t)dt.
Théorème 27 On suppose que f est continue sur ]a,b]et que l’intégrale Z b
a
f(t)dt impropre en a est convergente.
alors le reste de l’intégrale Z b
a
f(t)dt tend vers 0 lorsque x→a
x>a . Exercice 11 On considère la fonction
f :x7−→
Z+∞
x
e−t2dt.
1. Montrer que f est de classe C1surR. 2. Construire le tableau de variation de f .
3. Donner l’allure de la représentation graphique de f . 4. Montrer que∀x¾0 , 2x f(x)¶e−x2.
5. Montrer que Z+∞
0
f(x)dx converge et la calculer.
9 Étude de la fonction Gamma.
Théorème 28 : Convergence ou divergence de l’intégrale Gamma L’intégrale
Z+∞
0
tx−1e−tdt, impropre en+∞et en 0 selon les valeurs du réel x, est convergente si et seulement si x>0.
Definition 29 On appellefonction Gammal’application : Γ : ]0,+∞[ −→ R
x 7−→ Γ(x) = Z+∞
0
tx−1e−tdt
Théorème 30 : Quelques propriétés de la fonction Gamma
• ∀x>0 , Γ(x)>0.
•Pour tout réel x>0, on a :
Γ(x+1) =xΓ(x)
•Pour tout entier naturel n, on a :
Γ(n+1) = Z+∞
0
tne−tdt=n!
•Γ 1
2
=p π Exercice 12
1)Montrer que :
∀n∈N , Γ
n+1 2
=(2n)! 4nn!
pπ.
2)Soit n∈N. Prouver la convergence et faire le calcul de : Z +∞
−∞
tne−t
2 2dt.
Exercice 13 En utilisant la définition de la convexité, montrer queΓest convexe.
Exercice 14 Limites de la fonctionΓaux bornes de son intervalle de définition.
1. Montrer que :∀x>0 , Γ(x)¾ 1 e
Z1
0
tx−1dt. En déduire que : lim
x→0+Γ(x) = +∞
2. Montrer que :∀x>1 , Γ(x)¾2x−1 Z+∞
2
e−tdt. En déduire que : lim
x→+∞Γ(x) = +∞
