Intégrale sur un segment

Stanislas

Exercices

Intégrale sur un segment

Chapitre XIX MPSI 1

2015/2016

I - Continuité uniforme

Exercice 1. (-)Soienta < b deux réels etf ∈F(]a, b[,R) une fonction uniformément continue.

Montrer quef est bornée. Ce résultat est-il encore vrai sia=−∞?

Exercice 2. (-) Soit f ∈ F(R+,R) une fonction continue et périodique. Montrer que f est uniformément continue surR.

Exercice 3. (-)Soit f ∈ F(R,R) continue telle quelim

+∞f = ` etlim

−∞f = `⁰. Montrer que f est uniformément continue surR.

Exercice 4. (!)Soitf ∈C([0,1],R). Déterminer lim

n→+∞

1 n

n

P

k=1

(−1)^kf ^k_n . II - Intégration

Exercice 5.Étudier la fonction x7→

Z x

0

btc dt.

Exercice 6. (-)Soienta∈[1,+∞[etf ∈C¹([1,+∞[,R). Montrer que Z a

1

btcf⁰(t)dt=bacf(a)−

bac

X

k=1

f(k).

Exercice 7. (♥)Pour tous entiersp, q, on noteI_p,q= Z ₁

0

x^p(1−x)^qdx. 1. Déterminer une relation entreIp,q etIp+1,q−1.

2. En déduire la valeur deI_p,q.

Exercice 8. (♥)Soitf ∈C([a, b],R). Déterminer une condition nécessaire et susante surf pour que

Z

[a,b]

f

= Z

[a,b]

|f|.

Exercice 9. (Point fixe)Soitf ∈C([0,1],R). 1. On suppose que

Z

[0,1]

f = 0. Montrer quef s'annule sur ]0,1[. 2. On suppose queZ

[0,1]

f = 1

2. Montrer que f admet un point xe dans]0,1[. Exercice 10.Soientf ∈C([a, b],R) etn∈Ntels que pour tout k∈J0, nK,

Z b

a

t^kf(t)dt= 0. 1. Montrer que pour toutP ∈Rn[X],

Z b

a

P(t)f(t)dt= 0.

2. En déduire, en raisonnant par l'absurde, quef s'annule au moinsn+ 1fois sur [a, b].

Stanislas A. Camanes

Exercices. Intégrale sur un segment MPSI 1

Exercice 11. (πest irrationnel,♥)Soienta, b, n∈N^? etP_n= _n!¹Xⁿ(bX−a)ⁿ.

1. Montrer queP_net ses dérivées successives prennent en 0 et en ^a_b des valeurs entières.

2. On noteI_n= Z π

0

P_n(x) sin(x)dx. Montrer que lim

n I_n= 0.

3. En supposant queπ est rationnel et en choisissantaetb, montrer queI_n∈Z.

4. En déduire queπ est irrationnel.

Exercice 12.Soient a∈R^?+ etf ∈C¹([0, a],R) telle que f(0) = 0. On suppose que la fonctionf est la primitive d'une fonction continue. On poseg : x7→

Z x

0

|f⁰(t)|dt. 1. Montrer que

1

2g(a)² 6 a 2

Z a

0

g⁰(t)²dt.

2. Montrer que pour toutx∈[0, a],|f(x)|6g(x). 3. En déduire queZ a

0

|f⁰(t)f(t)|dt6 a 2

Z a

0

|f⁰(t)|²dt. Que dire du cas d'égalité ? III - Calculs de limites

Exercice 13. (Un air de Cesaro,♥)Soient f ∈C(R+,R) etF : R^?+→R, x7→ _x¹ Z x

0

f(t)dt. 1. Montrer queF peut être prolongée en une fonction continue en 0.

2. On suppose quef admet une limite réelle` en+∞. Montrer que F tend vers `en +∞. Exercice 14.Soit f ∈C([0,1],R). Pour tout entier natureln, on note u_n=

Z 1 0

f(tⁿ)dt. 1. Montrer que la suiteu converge versf(0).

2.On supposef dérivable en0. Étudier la limite de la suitev dénie pour tout entier natureln parvn=n(un−f(0)).

Exercice 15. Soit a > 0 et f : R → R une fonction continue. Pour tout x > 0, on note I(x) = _xa+1¹

Z x

0

t^af(t)dt. 1. Déterminer lim

x→0I(x).

2. En supposant quef est dérivable en0, montrer queI est dérivable en0 et calculer I⁰(0). Exercice 16. (!)Soitf ∈C([a, b],R+). Montrer que lim

n→∞

Z b

a

f(x)ⁿdx ¹_n

= sup

[a,b]

f.

Exercice 17. (!) Soit f : [0,1] → R une fonction de classe C¹ telle que f(1) = f⁰(1) = 0. Déterminerlim

n n² Z 1

0

xⁿf(x)dx.

Stanislas A. Camanes

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IV - Sommes de Riemann

Exercice 18. (Sommes de Riemann,-)Calculer la limite des suites de terme général 1. Sn⁽¹⁾= _n¹

n−1

P

k=0

cos^{2 kπ}_n. 2. S_n⁽²⁾= _n^√1_n

n

P

k=1

b√ kc.

3. Sn⁽³⁾ = _n¹α

n

P

k=1

k²e^−k

2 n2. 4. Sn⁽⁴⁾ =

n

Q

k=1

1 +^k_n²2

_n¹ . Exercice 19. (Intégrale de Poisson)Soitx∈]1,+∞[. On noteI(x) =

Z π

0

ln(1−2xcost+x²)dt et f son intégrande.

1. Montrer queI est bien dénie.

2. Soitn∈N^?. Déterminer une expression simple de ^π_n·

n−1

P

k=0

f ^kπ_n .

3. En déduire la valeur deI. V - Contre-exemples

Exercice 20.Soit g∈C([−1,1],R). On dénit la fonctionf sur [−1,1] parf(x) =g(x) six6= 0 etf(0) =g(0) + 1. Montrer queZ x

0

f(t)dt est dérivable en0 mais queF⁰(0)6=f(0).

Exercice 21. (Fonction de Thomae)On dénit sur[0,1]la fonctionf parf(x) = ¹_q six∈Q∩[0,1]

s'écrit sous forme irréductible ^p_q etf(x) = 0sinon.

1. Montrer queA_ε ={x∈[0,1] ; f(x)>ε} est ni.

2. Montrer quef est continue sur [0,1]\Qainsi qu'en 0. 3. Montrer quef est discontinue sur ]0,1]∩Q.

4. Soitε >0. On dénitϕε parϕε(x) =εsi x6∈Aε,ϕε(x) =f(x) sinon. Montrer que ϕε est en escalier et queZ 1

0

ϕ_ε(t)dt=ε. Montrer que 06f 6ϕ_ε. En déduire que f est intégrable et que Z 1

0

f(t)dt= 0.

Stanislas A. Camanes