Stanislas
Exercices
Intégrale sur un segment
Chapitre XIX MPSI 1
2015/2016
I - Continuité uniforme
Exercice 1. (-)Soienta < b deux réels etf ∈F(]a, b[,R) une fonction uniformément continue.
Montrer quef est bornée. Ce résultat est-il encore vrai sia=−∞?
Exercice 2. (-) Soit f ∈ F(R+,R) une fonction continue et périodique. Montrer que f est uniformément continue surR.
Exercice 3. (-)Soit f ∈ F(R,R) continue telle quelim
+∞f = ` etlim
−∞f = `0. Montrer que f est uniformément continue surR.
Exercice 4. (!)Soitf ∈C([0,1],R). Déterminer lim
n→+∞
1 n
n
P
k=1
(−1)kf kn . II - Intégration
Exercice 5.Étudier la fonction x7→
Z x
0
btc dt.
Exercice 6. (-)Soienta∈[1,+∞[etf ∈C1([1,+∞[,R). Montrer que Z a
1
btcf0(t)dt=bacf(a)−
bac
X
k=1
f(k).
Exercice 7. (♥)Pour tous entiersp, q, on noteIp,q= Z 1
0
xp(1−x)qdx. 1. Déterminer une relation entreIp,q etIp+1,q−1.
2. En déduire la valeur deIp,q.
Exercice 8. (♥)Soitf ∈C([a, b],R). Déterminer une condition nécessaire et susante surf pour que
Z
[a,b]
f
= Z
[a,b]
|f|.
Exercice 9. (Point fixe)Soitf ∈C([0,1],R). 1. On suppose que
Z
[0,1]
f = 0. Montrer quef s'annule sur ]0,1[. 2. On suppose queZ
[0,1]
f = 1
2. Montrer que f admet un point xe dans]0,1[. Exercice 10.Soientf ∈C([a, b],R) etn∈Ntels que pour tout k∈J0, nK,
Z b
a
tkf(t)dt= 0. 1. Montrer que pour toutP ∈Rn[X],
Z b
a
P(t)f(t)dt= 0.
2. En déduire, en raisonnant par l'absurde, quef s'annule au moinsn+ 1fois sur [a, b].
Stanislas A. Camanes
Exercices. Intégrale sur un segment MPSI 1
Exercice 11. (πest irrationnel,♥)Soienta, b, n∈N? etPn= n!1Xn(bX−a)n.
1. Montrer quePnet ses dérivées successives prennent en 0 et en ab des valeurs entières.
2. On noteIn= Z π
0
Pn(x) sin(x)dx. Montrer que lim
n In= 0.
3. En supposant queπ est rationnel et en choisissantaetb, montrer queIn∈Z.
4. En déduire queπ est irrationnel.
Exercice 12.Soient a∈R?+ etf ∈C1([0, a],R) telle que f(0) = 0. On suppose que la fonctionf est la primitive d'une fonction continue. On poseg : x7→
Z x
0
|f0(t)|dt. 1. Montrer que
1
2g(a)2 6 a 2
Z a
0
g0(t)2dt.
2. Montrer que pour toutx∈[0, a],|f(x)|6g(x). 3. En déduire queZ a
0
|f0(t)f(t)|dt6 a 2
Z a
0
|f0(t)|2dt. Que dire du cas d'égalité ? III - Calculs de limites
Exercice 13. (Un air de Cesaro,♥)Soient f ∈C(R+,R) etF : R?+→R, x7→ x1 Z x
0
f(t)dt. 1. Montrer queF peut être prolongée en une fonction continue en 0.
2. On suppose quef admet une limite réelle` en+∞. Montrer que F tend vers `en +∞. Exercice 14.Soit f ∈C([0,1],R). Pour tout entier natureln, on note un=
Z 1 0
f(tn)dt. 1. Montrer que la suiteu converge versf(0).
2.On supposef dérivable en0. Étudier la limite de la suitev dénie pour tout entier natureln parvn=n(un−f(0)).
Exercice 15. Soit a > 0 et f : R → R une fonction continue. Pour tout x > 0, on note I(x) = xa+11
Z x
0
taf(t)dt. 1. Déterminer lim
x→0I(x).
2. En supposant quef est dérivable en0, montrer queI est dérivable en0 et calculer I0(0). Exercice 16. (!)Soitf ∈C([a, b],R+). Montrer que lim
n→∞
Z b
a
f(x)ndx 1n
= sup
[a,b]
f.
Exercice 17. (!) Soit f : [0,1] → R une fonction de classe C1 telle que f(1) = f0(1) = 0. Déterminerlim
n n2 Z 1
0
xnf(x)dx.
Stanislas A. Camanes
Exercices. Intégrale sur un segment MPSI 1
IV - Sommes de Riemann
Exercice 18. (Sommes de Riemann,-)Calculer la limite des suites de terme général 1. Sn(1)= n1
n−1
P
k=0
cos2 kπn. 2. Sn(2)= n√1n
n
P
k=1
b√ kc.
3. Sn(3) = n1α
n
P
k=1
k2e−k
2 n2. 4. Sn(4) =
n
Q
k=1
1 +kn22
n1 . Exercice 19. (Intégrale de Poisson)Soitx∈]1,+∞[. On noteI(x) =
Z π
0
ln(1−2xcost+x2)dt et f son intégrande.
1. Montrer queI est bien dénie.
2. Soitn∈N?. Déterminer une expression simple de πn·
n−1
P
k=0
f kπn .
3. En déduire la valeur deI. V - Contre-exemples
Exercice 20.Soit g∈C([−1,1],R). On dénit la fonctionf sur [−1,1] parf(x) =g(x) six6= 0 etf(0) =g(0) + 1. Montrer queZ x
0
f(t)dt est dérivable en0 mais queF0(0)6=f(0).
Exercice 21. (Fonction de Thomae)On dénit sur[0,1]la fonctionf parf(x) = 1q six∈Q∩[0,1]
s'écrit sous forme irréductible pq etf(x) = 0sinon.
1. Montrer queAε ={x∈[0,1] ; f(x)>ε} est ni.
2. Montrer quef est continue sur [0,1]\Qainsi qu'en 0. 3. Montrer quef est discontinue sur ]0,1]∩Q.
4. Soitε >0. On dénitϕε parϕε(x) =εsi x6∈Aε,ϕε(x) =f(x) sinon. Montrer que ϕε est en escalier et queZ 1
0
ϕε(t)dt=ε. Montrer que 06f 6ϕε. En déduire que f est intégrable et que Z 1
0
f(t)dt= 0.
Stanislas A. Camanes
