E131– Le jeu des suites [*** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Le jeu des séquences se joue avec n ≥3 personnes. Chaque personne écrit sa propre suite de nombres réels selon la règle suivante: pour commencer, elle choisit un nombre réel > 0 comme premier terme de sa suite qu'elle fait connaître à tous les participants puis elle calcule le second terme en faisant la somme des termes choisis précédemment par les n ‒ 1 personnes.Ce second terme est également annoncé à tous. Et ainsi de suite, au k-ième tour, elle calcule le k-ième terme de sa suite en calculant la somme des termes calculés par les n ‒ 1 personnes au tour précédent.
Q₁ Zig entouré de ses sept camarades commence par écrire un entier N puis au tour suivant il écrit à nouveau un entier > 1. Quelques tours plus tard,il il obtient le nombre entier 2017. Calculer N et en déduire le 7-ième terme de la suite de Zig.
Q₂ Certains camarades de Zig en nombre p quittent le groupe. Tous ceux qui restent recommencent le jeu des suites. Zig choisit à nouveau l'entier N retenu dans le premier jeu. Il constate qu'au deuxième tour c'est le même entier que précédemment et quelques tours plus tard l'entier 2017 fait à nouveau son apparition. En déduire p.
Solution proposée par Daniel Collignon
Q1
Notons S la somme du 1er terme de la suite des n>=3 joueurs.
Le 1er terme de Zig est donc N entier >=1.
Le 2nd terme de Zig est alors S-N entier >=2, ce qui implique que S>=N+1 est entier ; la somme des 2nd termes vaut 7S.
Le 3e terme de Zig est alors 6S+N, et la somme des 3e termes vaut 49S.
Le 4e terme de Zig est alors 43S-N, et la somme des 3e termes vaut 343S.
Le 5e terme de Zig est alors 300S+N, et la somme des 3e termes vaut 2401S.
Le 6e terme de Zig est alors 2101S-N, et la somme des 3e termes vaut 16807S.
Le 7e terme de Zig est alors 14706S+N.
Il est clair que 2101S-N=2100S+S-N>2017.
Peut-on avoir 300S+N = 2017 ?
Si c'était le cas, alors nous aurions 300S=<2016 et 2018<301S : impossible
Compte tenu du pluriel "quelques tours plus tard", nécessairement 43S-N=2017.
Alors 43S>=2018 et 42S=<2015, d'où S=47 et N=4.
Le 7e terme de Zig est alors 691186.
Q2
Il est aisé de généraliser avec x=n-p joueurs et y=x-1.
La nouvelle suite de Zig possède pour 2 premiers termes N=4 et S-N=43.
Alors le kième terme de la suite de Zig vaut
[y^(k-2)-y^(k-1)+...+(-1)^i*y^(k-i)+...+(-1)^k]*S+(-1)^(k-1)*N Il peut s'écrire sous la forme
((y^(k+1)+(-1)^k)/(y+1)-(y-1)*y^(k-1))*S+(-1)^(k-1)*N.
Du fait du faible nombre de valeurs à vérifier, à l'aide d'un tableur on trouve p=5 et k=8 pour obtenir à nouveau 2017.
