E131– Le jeu des suites [*** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Le jeu des séquences se joue avec n ≥3 personnes. Chaque personne écrit sa propre suite de nombres réels selon la règle suivante: pour commencer, elle choisit un nombre réel > 0 comme premier terme de sa suite qu'elle fait connaître à tous les participants puis elle calcule le second terme en faisant la somme des termes choisis précédemment par les n ‒ 1 personnes.Ce second terme est également annoncé à tous. Et ainsi de suite, au k-ième tour, elle calcule le k-ième terme de sa suite en calculant la somme des termes calculés par les n ‒ 1 personnes au tour précédent.
Q₁ Zig entouré de ses sept camarades commence par écrire un entier N puis au tour suivant il écrit à nouveau un entier >1. Quelques tours plus tard,il il obtient le nombre entier 2017. Calculer N et en déduire le 7-ième terme de la suite de Zig.
Q₂ Certains camarades de Zig en nombre p quittent le groupe. Tous ceux qui restent recommencent le jeu des suites. Zig choisit à nouveau l'entier N retenu dans le premier jeu. Il constate qu'au deuxième tour c'est le même entier que précédemment et quelques tours plus tard l'entier 2017 fait à nouveau son apparition. En déduire p.
Solution de Raymond Bloch.
Chaque étape i d’une partie est résumée par deux nombres (Ni,Si) , où Ni est le nombre de Zig, et Si la somme des (n-1) autres nombres, et on a : Ni+1 = Si . Pour chacun des (n-1) autres joueurs,
xi+1 = Si – xi + Ni : en faisant la somme de ces (n-1) équations pour les (n-1) autres joueurs, on obtient Si+1= (n-1)Si – Si + (n-1)Ni ou Si+1 = (n-2)Si + (n-1)Ni .
Q1 – Ici n=8 et N0 = N, N0 et N1 entiers positifs. Donc N1=S0 , N2=S1=6S0+7N, N3=S2=6S1+7N1= 6(6S0+7N)+7S0, ou N3=43S0+42N,
N4=S3=6S2+7N2= 6(43S0+42N)+7(6S0+7N)=300S0+301N . De même, N5=2101S0+2100N, N6=14706S0+14707N.
S0 et N étant des entiers positifs, N5 et N6 ≥2017. Pour que N4=2017,il faudrait que le terme 301N se termine par un 7, donc N≥7, mais 7*301>2017.
Comme Zig a obtenu 2017 « quelques tours plus tard », il ne peut pas s’agir de N2 qui vient immédiatement après « le tour suivant » où il a obtenu N1 : donc seul N3 peut être égal à 2017, et
N3=43S0+42N=2017 a 2 solutions entières, (N , S0) = (4,43) et (47,1). Nous supposerons que l’auteur du problème entendait imposer la contrainte S0 > 1, et nous retiendrons pour unique solution (4,43), avec N=4.
Le 7ième terme de la suite de Zig est N6 : avec N=4, S0=43, on a N6=14706*43+14707*4=691186.
Q2 – La solution retenue pour Q1 est (N,S0)=(4,43). Si p=5 de ses compagnons se retirent, laissant Zig poursuivre avec 2 compagnons, n=3, et les couples (Ni,Si) successifs sont donnés par
Ni+1=Si et Si+1=Si+2Ni , soit (4,43), (43,51), (51,137), (137,239), (239,513), (513,991), (991,2017), (2017,…) : Zig obtient le nombre 2017 au 8ième tour. Donc p=5 est la solution .
NB On a vérifié que p≤4 ne permet pas à Zig de retrouver 2017. On note que la solution alternative de Q1 (N,S0)=(47,1) permet également à Zig de retrouver 2017 au 8ième tour avec p=5 défections parmi ses compagnons.