E131– Le jeu des suites
Problème proposé par Raymond Bloch
Le jeu des séquences se joue avec n ≥3 personnes. Chaque personne écrit sa propre suite de nombres réels selon la règle suivante : pour commencer, elle choisit un nombre réel > 0 comme premier terme de sa suite qu'elle fait connaître à tous les participants puis elle calcule le second terme en faisant la somme des termes choisis précédemment par les n ‒ 1 personnes. Ce second terme est également annoncé à tous. Et ainsi de suite, au kème tour, elle calcule le kème terme de sa suite en calculant la somme des termes calculés par les n ‒ 1 personnes au tour précédent.
Q₁ Zig entouré de ses sept camarades commence par écrire un entier N puis au tour suivant il écrit à nouveau un entier. Quelques tours plus tard, il obtient le nombre entier 2017. Calculer N et en déduire le 7ème terme de la suite de Zig.
Q₂ Certains camarades de Zig en nombre p quittent le groupe. Tous ceux qui restent
recommencent le jeu des suites. Zig choisit à nouveau l'entier N retenu dans le premier jeu. Il constate qu'au deuxième tour c'est le même entier que précédemment et quelques tours plus tard l'entier 2017 fait à nouveau son apparition. En déduire p.
Solution par P. Gordon
Q1
Notons j (=1 à 7) les camarades de Zig et xkj
et zk les nombres du kème tour. La somme des xkj
au tour k sera notée Sk (S1 sera abrégée en S).
La récurrence est : z1 = N zk = Sk-1
xkj
= Sk-1 − xk-1j
+ zk-1
Donc, en sommant sur j : Sk = 7Sk-1 − Sk-1 + 7 zk-1
Mais Sk n'est autre que zk+1 et Sk-1 n'est autre que zk
L'équation de récurrence se réécrit donc : zk+1 = 6 zk + 7 zk-1
et zk est donc de la forme : zk = Auk + Bvk
où u et v sont les racines de l'équation X² − 6X – 7 = 0, soit 7 et −1. Donc : zk = A7k + B(−1)k
On calcule les coefficients A et B en écrivant que z1 = N et z2 = S, d'où : 7N = 49A − 7B
S = 49A + B A = (N+S) / 56 B = (S−7N) / 8
D'où une formule explicite pour zk :
zk = [(N+S) / 56] 7k + [(S−7N) / 8] (−1)k.
Si l'on veut que 2017 apparaisse (chez Zig) au kème tour, il suffit d'écrire "= 2017" à la fin de la relation ci-dessus et de résoudre en N et x.
Par exemple, avec N = 4, on trouve une solution avec S= 43, qui donne 2017 au 4ème tour :
k zk
1 4
2 43
3 286
4 2017
5 14104
6 98743
7 691186 8 4838317
N = 4 et le 7ème terme de la suite de Zig est 691.186.
Notons que, sans changer N = 1, on peut faire apparaître 2017 au 3ème tour avec S= 335, au 5ème tour avec S= 143/25, mais pas au-delà car, dès que k atteint 6, S devient négatif même pour N = 1.
On peut aussi changer N (dans des limites à expliciter). Au total, il y a plusieurs solutions quand on ne considère que cette seule question 1. La solution ci-dessus a été retenue, après
tâtonnements, parce qu'elle permet de répondre aussi à la question 2.
Q₂
La récurrence est toujours : z'1 = N
z'k = Sk-1
x'kj = Sk-1 – x'k-1j
+ z'k-1
Mais cette fois on somme sur j de 1 à 7-p, soit : Sk = (7-p)Sk-1 − Sk-1 + (7-p)z'k-1
Comme précédemment, Sk n'est autre que z'k+1 et Sk-1 n'est autre que z'k. L'équation de récurrence se réécrit donc :
z'k+1 = (6-p) z'k + (7-p) zk-1
On sait en outre que : z'1 = N = 4 z'2 = z2 = 43
Avec ces relations de récurrence (en fonction de p), et les valeurs initiales de z'1 et z'2 on peut dresser un tableau des z'k (en lignes) avec p (de 0 à 6) en colonnes.
p 0 1 2 3 4 5 6
k
1 4 4 4 4 4 4 4
2 43 43 43 43 43 43 43
3 286 239 192 145 98 51 4
4 2017 1453 983 607 325 137 43
5 14104 8699 4892 2401 944 239 4
6 98743 52213 24483 9631 2863 513 43 7 691186 313259 122392 38497 8558 991 4 8 4838317 1879573 611983 154015 25705 2017 43 On voit que la valeur z'k= 2017 réapparaît au 8ème tour, pour p = 5.