TS DS 4 2011-2012
On considère la fonctionf définie sur Rpar : (
f(x) = xex
ex−1 six6= 0 f(0) = 1
On noteCf la courbe représentative def dans un repère orthonormal.
1. (a) Déterminer la limite de f en−∞.
(b) Établir que, pour tout nombre réelxnon nul, on af(x) =x
1 + 1 ex−1
. En déduire la limite def en +∞.
2. (a) R.O.C : Démontrer que lim
x→0
ex−1 x = 1 (b) En déduire lim
x→0
x
ex−1 et prouver quef est continue en 0.
3. (a) On définit surRla fonctiong parg(x) = ex−x−1. En étudiant les variations deg, prouver que pour tout x∈R, g(x)>0.
(b) Calculer la dérivéef′ de la fonction f et prouver qu’elle s’écrit, pour tout nombre réel xnon nul : f′(x) = exg(x)
(ex−1)2.
(c) En déduire les variations de f sur ]− ∞; 0[ et sur ]0; +∞[. Peut-on en déduire les variations def sur R? Donner le tableau de variations def.
4. (a) Prouver que la droite ∆ d’équationy=xest asymptote àCf en +∞.
(b) Étudier la position relative deCf et de ∆.
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