Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 Examen
LM216 Session de rattrapage – Juin 2012
Avertissements :
– Appareils électroniques (y compris téléphones) et documents interdits.
– Les trois exercices sont indépendants.
– Les réponses doivent être justifiées et rédigées de manière rigoureuse.
– Si des résultats du cours sont utilisés, ils doivent clairement être énoncés.
Exercice I. On considère la fonctionf :R2 →R,(x, y)7→x3+y3−3xy+ 1.
1. Cette fonction est-elleC∞ surR2 ? Expliquer.
2. Calculer les dérivées partielles premières def en tout point deR2. 3. En déduire les points critiques def sur R2.
4. Pour chacun de ces points critiques, écrire le développement limité à l’ordre 2 def et déterminer si c’est un extremum ou non.
5. SoitF ={(x, y)∈R2 |f(x, y) = 1}.
(a) Montrer queF est non vide.
(b) Énoncer le théorème des fonctions implicites dans R2.
(c) En quel(s) point(s)F n’est-il pas le graphe d’une fonction de la première coordonnéex ?
Exercice II. On considèreU ={(x, y)∈R2|x >0, y >0}, etΦ :U →U,(x, y)7→(x, xy2). Soitf ∈C1(U) une solution de l’équation aux dérivées partielles
(E) 2x∂f
∂x(x, y)−y∂f
∂y(x, y) = 0, ∀(x, y)∈U.
1. L’ensembleU est-il ouvert ? fermé ?
2. Montrer queΦ est bijective deU dansU, et calculer sa réciproqueΦ−1:U →U,(v, w)7→Φ−1(v, w).
3. En déduire que ΦetΦ−1 sont toutes deux de classeC1 surU. 4. Calculer la matrice jacobienne de Φen tout point deU.
5. Montrer qu’on peut définir une fonction F : U → R par la relation f(x, y) = F(x, xy2) pour tout (x, y)∈U. Montrer queF est de classeC1 sur U, en utilisant le résultat de la question 3.
6. Calculer les dérivées partielles premières def en fonction de celles de F.
7. En déduire que F vérifie
2v∂F
∂v(v, w) = 0, ∀(v, w)∈U.
8. Montrer alors qu’il existeh:R∗+ →R, de classeC1, telle que F(v, w) =h(w) pour tout(v, w)∈U. 9. Que peut-on en déduire pour la fonctionf ?
Exercice III. On considère l’ensemble D ={(x, y)∈ R2 |x2+y2−2y ≤0}, et Γ =∂D la frontière de D orientée dans le sens trigonométrique.
1. Représenter graphiquementD en indiquant le sens d’orientation de Γ. DansR2,D est-il compact ? 2. Trouver un paramétrage de Γ pour θ ∈ [−π, π] dont la première composante est donnée par cosθ. La
courbe fermée orientée Γest-elle de classe C1 ? 3. CalculerI =
Z
Γ
x2ydx+xy2dy sans calculer d’intégrale double (on utilisera le paramétrage).
4. Énoncer avec précision la formule de Green-Riemann.
5. Retrouver la valeur deI en utilisant des calculs d’intégrales doubles.
