Université Pierre et Marie Curie LM 216 Devoir d’entraînement no2 – Trois exercices indépendants 30 mars 2012
Exercice I
Soit a >0. On définit
E ={(x, y)∈R2 |x >0, y >0, x+y≤2a}
et on considère f :E →R,(x, y)7→xlnx+ylny.
1. Trouver l’intérieur et l’adhérence de E. L’ensemble E est-il borné ? 2. Étudier les variations de la fonction R∗+→R, u7→ulnu.
3. La fonction f peut-elle être prolongée par continuité surE¯ ? 4. En déduire que f est bornée sur E.¯
Exercice II
On définit f :R2 →Rparf(x, y) = x2y
x−y pourx6=y, etf(x, x) =x.
1. Calculer f(1,−2)et les dérivées partielles ∂1f(1,−2)et∂2f(1,−2).
Soit a∈R2. Pour θ∈[0,2π[, on pose v= (cosθ,sinθ) ∈R2. On considèreϕ:R→R, t7→f(a+tv) (ϕest une fonction de t,a etθen sont des paramètres).
2. Étudier la continuité de f en (1,1)∈R2.
3. Dans cette question, on suppose que a= (0,0)etθ=π/4.
(a) Montrer quef admet des dérivées partielles en(0,0)suivant chacune de ses deux variables, et les calculer.
(b) Donner une expression explicite deϕ(t), et calculerϕ0(0).
(c) L’égalité ϕ0(0) = 1
√2[∂1f(0,0) +∂2f(0,0)] est-elle vérifiée ? (d) La fonctionf est-elle différentiable en (0,0)?
(e) La fonction f est-elle continue en(0,0)? Exercice III
On considère la fonction f :R2 →R,(x, y)7→ 1 +x−y p1 +x2+y2.
1. Montrer que f ∈C∞(R2). Calculer le gradient def en tout point deR2.
2. (a) Rappeler la définition générale et précise d’un point critique d’une fonctionRd→R,d≥2.
(b) Soit (x0, y0) un point critique de f. En utilisant la somme des deux dérivées partielles premières def en ce point, montrer que(y02−x02)−(y0+x0) = 0.
(c) En déduire quey0 =−x0, puis quef admet un unique point critique surR2. Quelle est la valeur dex0 ?
3. (a) Calculer la hessienne f en (x0,−x0).
(b) À l’aide de résultats du cours que l’on rappellera, montrer que (x0,−x0) réalise un maxi- mum local de f.
Éléments de correction du devoir d’entraînement no2
Exercice I
1. E˚={(x, y)∈R2 |x >0, y > 0, x+y < 2a},E¯ ={(x, y) ∈R2 | x≥0, y≥0, x+y ≤2a}.
E est borné cark(x, y)k∞≤2apour tout (x, y)∈E.
2. Décroissance sur]0,1/e], croissance au-delà, et prolongement (par0) par continuité en0.
3. f(x,0) =xlnx pour0< x≤2a,f(0, y) =ylny pour 0< y ≤2aetf(0,0) = 0.
4. E¯ est un fermé borné deR2, donc compact, etf est continue sur E, donc¯ f est bornée sur E.¯
Exercice II
1. f(1,−2) =−2/3,∂1f(1,−2) =−10/9,∂2f(1,−2) = 1/9.
2. f(1,1) = 1, etf(1, y) =y/(1−y)→ ±∞quandy →1 : pas de continuité en(1,1).
3. (a) f(x,0)−f(0,0)
x = 0, donc ∂1f(0,0) = 0. De même, ∂2f(0,0) = 0.
(b) ϕ(t) =f t/√ 2, t/√
2
=t/√
2, donc ϕest dérivable sur R, etϕ0(0) = 1/√ 2.
(c) Non, car 1/√ 26= 0.
(d) Sif était différentiable en(0,0), on aurait l’égalité de (b), ce qui n’est pas le cas.
(e) En fait, elle n’est pas continue en(0,0)non plus :f(x, x−x3) = 1−x2 →1 quandx→0.
Exercice III
1. f ∈C∞(R2) comme quotient d’une fonction polynôme, donc C∞(R2), par la composée d’une fonction polynôme strictement positive avec √
·, qui estC∞(]0,+∞[). Puis on a
∇f(x, y) =
∂xf(x, y)
∂yf(x, y)
, ∂xf(x, y)(x, y) = 1 +y2+xy−x
(1 +x2+y2)3/2, ∂yf(x, y)(x, y) =−1 +x2+xy+y (1 +x2+y2)3/2.
2. (a) Voir cours.
(b) (∂xf +∂yf) (x0, y0) = 0 ⇒ (y02−x02)−(y0+x0) = 0.
(c) Donc (x0, y0) vérifie(y0+x0)(y0−x0−1) = 0, donc y0=−x0 ou y0=x0+ 1. Le second cas est impossible, car il ne permet pas d’annuler les dérivées partielles. Le premier cas donne x0= 1 ety0 =−1. Il y a un seul point critique.
3. (a) On calcule les dérivées partielles secondes de f en(x0, y0)pour les assembler ensuite dans la hessienne, et on obtient :
∂2f
∂x2(1,−1) =−2×3−3/2, ∂2f
∂x∂y(1,−1) =−3−3/2, ∂2f
∂y2(1,−1) =−2×3−3/2. (b) Le hessien vaut1/9 >0, et la trace de la hessienne est strictement négative : maximum
local. On peut aussi bien sûr calculer les valeurs propres de la hessienne.
