Université Pierre et Marie Curie – Paris 6 Examen – 2 heures
LM216 seconde période Première session – Mai 2013
Avertissements importants :
– Les appareils électroniques (téléphones compris) et les documents sont interdits.
– Les trois exercices sont indépendants, le barème (sur 25) est indicatif.
– Les réponses doivent être justifiées et rédigées de manière rigoureuse.
– Si un résultat du cours est utilisé, il doit être clairement énoncé.
Exercice I. (10 points)On considère la fonction f :R2 →R,(x, y)7→(y2−4)(ex−1).
1. La fonctionf est-elle C∞sur R2?
2. Calculer le gradient et la hessienne def en tout point deR2. 3. Quels sont les points critiques def surR2?
4. Préciser la nature de chacun des points critiques en terme d’extremum.
5. (a) Énoncer le théorème des fonctions implicites pour une fonction de deux variables.
(b) Donner le développement limité à l’ordre2au voisinage de1de la fonction obtenue par le théorème des fonctions implicites pour la courbe d’équationf(x, y) = 0au voisinage du point(1,2). Retrouver le résultat obtenu par un raisonnement direct (sans utiliser le théorème des fonctions implicites).
Exercice II. (10 points)SoitΩ le complémentaire de la droite d’équationx= 0dansR2. Dans la suite,f désigne une fonction de classeC2 surΩà valeurs réelles.
1. L’ensembleΩest-il ouvert ou fermé ? 2. On noteP = ∂f
∂x etQ= ∂f
∂y. A-t-on ∂P
∂y = ∂Q
∂x surΩ?
3. En utilisant la question précédente, montrer qu’il n’existe aucune fonctionf telle que P(x, y) =−y et Q(x, y) =x pour tout (x, y)∈Ω.
4. Soitg∈C1(Ω;R). On s’intéresse au problème (Π) :Trouverf vérifiant ∂f
∂x =−yg et ∂f
∂y =xg surΩ.
(a) Calculer ∂
∂x(xg) et ∂
∂y(−yg) surΩ, en fonction deg et de ses dérivées partielles premières.
(b) En utilisant II.2, montrer (Π) admet une solution si g est solution, sur Ω, d’une équation aux dérivées partielles (E’) que l’on déterminera.
(c) Soit maintenant g vérifiant (E’) sur Ω. Montrer que h : Ω → R, (x, y) 7→ (x2 +y2)g(x, y) est solution, surΩ, de l’équation aux dérivées partielles (E) :x ∂h
∂x+y ∂h
∂y = 0.
5. (a) Montrer que les relationsu=x,v=y/xdéfinissent une bijection de classeC1(C1-difféomorphisme) deΩ dans lui-même.
(b) On pose˜h(x, y/x) =h(x, y)pour(x, y)∈Ω. Quelle équation aux dérivées partielles simple(u, v)7→
˜h(u, v)vérifie-t-elle ?
(c) Quelle est la forme générale des solutions de (E) surΩ?
6. Montrer alors que les solutionsg de (E’) prennent la formeg(x, y) = η(y/x)
x2+y2, oùη ∈C1(R).
7. Déterminer les solutionsf de (Π) lorsque η≡1. On fera appel à la fonctionArctan.
Exercice III. (8 points)SoitΓla courbe fermée orientée dans le sens direct, portée par la parabole d’équa- tiony=x2 et la droite d’équation y=x.
1. Faire un schéma deΓ en y indiquant aussi le sens de l’orientation. Déterminer un paramétrage deΓ.
2. (a) Énoncer la formule de Green-Riemann dans le cas le plus général exposé en cours.
(b) CalculerI = Z
Γ
y(x+1)dxde deux façons (avec le paramétrage, puis la formule de Green-Riemann).
(c) CalculerJ = Z
Γ
xds. Peut-on utiliser la formule de Green-Riemann pour le calcul deJ?
