def factorielle (n ):

SESSION 2018

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Partie I - « Permutation limite-intégrale » et intégrale de Gauss

I.1 - Utilisation d’une série entière

Q1 Pour x∈[0, 1], on posef(x) =e^−x2. Pour tout réelxde[0, 1], f(x) =e^−x2 =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ n! (∗).

Pourn∈Netx∈[0, 1], on posef_n(x) = (−1)ⁿx²ⁿ

n! de sorte que la série de fonctions de terme généralf_n,n∈N, converge simplement vers la fonction f sur le segment[0, 1]. De plus, on sait qu’une série entière converge uniformément vers sa somme sur tout segment inclus dans son intervalle ouvert de convergence.

Ici, l’intervalle ouvert de convergence est] −∞,+∞[et donc la série de fonctions de terme généralfn : x7→(−1)ⁿ x²ⁿ (2n)!

converge uniformément vers sa sommef sur le segment[0, 1].

En résumé, chaque fonction fn, n∈N, est continue par morceaux sur le segment[0, 1] et la série de fonctions de terme généralf_n, n ∈N, converge uniformément versf sur le segment[0, 1]. D’après le théorème d’intégration terme à terme sur un segment,

• la série numérique de terme général Z1

0

f_n(x)dx, n∈N, converge ;

• la fonctionfest continue par morceaux sur[0, 1];

• Z1

0

f(x)dx=

+∞

X

n=0

Z1

0

f_n(x)dx.

Ceci fournit explicitement

I=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n!

Z1

0

x²ⁿdx=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ (2n+1)n!.

Q2 Pour n∈N, posons u_n = 1

(2n+1)n! de sorte que I=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿu_n. La suiteuest positive, décroissante (en tant qu’inverse d’une suite strictement positive et croissante) et tend vers0 quandntend vers+∞. La série de terme général (−1)ⁿu_n,n∈N, est donc une série alternée. On sait que la valeur absolue du reste à l’ordrend’une telle série est majorée par la valeur absolue de son premier terme et donc, pourn∈N,

|I−sn|=|Rn|=

+∞

X

k=n+1

(−1)^k (2k+1)k!

6

(−1)ⁿ⁺¹ (2(n+1) +1)(n+1)!

= 1

(2n+3)(n+1)!. Q3 Informatique.

✞ ☎

def factorielle (n ):

if n >=1 :

return (n

factorielle (n

1)) else :

return (1)

✝ ✆

Q4 Informatique.

✞ ☎

N =0

while (1/((2

N +3)

factorielle (N +1)) >10

(

6)) : N +=1

print (N)

✝ ✆

I.2 - Utilisation d’une autre suite de fonctions

Q5 Soitx∈[0,+∞[. Pournentier naturel tel quen > x², on a1 > x²

n puis1− x²

n > 0. Par suite, fn(x) =

1−x²

n ⁿ

n→=+∞e^nln

1−^xn²

n→=+∞e^nln

−^xn²+o(n¹) =

n→+∞e^−x

2+o(1)

et donc la suite de fonctions(f_n)_n∈N converge simplement sur[0,+∞[vers la fonctionf : x7→e^−x2.

Q6 La fonctionu7→ln(1+u)est concave sur ] −1,+∞[ car cette fonction est deux fois dérivable sur] −1,+∞[et sa dérivée seconde, à savoir la fonctionu7→− 1

(1+u)², est négative sur] −1,+∞[. Le graphe de cette fonction est donc en dessous de sa tangente en son point d’abscisse0 Ceci fournit l’inégalité de convexité classique

∀u >−1, ln(1+u)6u.

Soitn∈N^∗. Pour x∈[0, 1[,1−x²

n > 0ce qui reste vrai pourx=1si de plus n>2. Pour de telsnetx, on peut écrire

|f_n(x)|=

1− x² n

ⁿ

=e^nln

1−^xn²

6eⁿ

−^xn²

=e^−x2,

Ce qui reste vrai quandn=1 etx=1carf1(1) =06e⁻¹. On a montré que∀n∈N^∗,∀x∈[0, 1], |fn(x)|6e^−x2. Remarque.La majoration beaucoup plus simple :∀n∈N^∗, ∀x∈[0, 1],|f_n(x)|61 était suffisante pour ce qui suit.

Ainsi,

• chaque fonctionf_n,n∈N^∗, est continue par morceaux sur[0, 1];

•la suite de fonctions(f_n)_n∈N∗, converge simplement vers la fonctionf : x7→e^−x2 sur[0, 1]d’après Q5 et la fonction fest continue par morceaux sur l’intervalle[0, 1].

• pour toutn∈N^∗ et toutx∈[0, 1],|f_n(x)|6e^−x2=ϕ(x)oùϕest une fonction continue par morceaux et donc intégrable sur le segment[0, 1].

D’après le théorème de convergence dominée,

• la suite Z1

0

f_n(x)dx

!

n∈N∗

converge ;

• la fonctionfest intégrable sur[0, 1];

• Z1

0

f(x)dx= lim

n→+∞

Z1

0

f_n(x)dx.

Ceci fournit explicitement

I= lim

n→+∞

Z1

0

1−x²

n n

dx

= lim

n→+∞

Z1

0

Xn

k=0

n k

(−1)^kx^2k n^k

!

dx(d’après la formule du binôme deNewton)

= lim

n→+∞

Xn

k=0

n k

(−1)^k n^k

Z1

0

x^2kdx

!

(par linéarité de l’intégration)

= lim

n→+∞

Xn

k=0

n k

(−1)^k n^k(2k+1).

Partie II - Notion de polynôme interpolateur

II.1 - Existence du polynôme interpolateur

Q7 Chaque li,i∈J0, nK, est un polynôme de degré net doncLn est un polynôme de degré inférieur ou égal àn.

Soit(i, j)∈J0, nK².

• sii=j,l_i(x_j) =l_i(x_i) = Yn

k=0k6=i

x_i−x_k x_i−x_k =1.

• sii6=j,li(x_j) = xj−xj

x_i−x_j Yn

k6=i, k6=jk=0

xj−xk

x_i−x_k =0.

En résumé, pour tout(i, j)∈J0, nK²,l_i(x_j) =δ_i,j oùδ_i,j est le symbole deKronecker. On en déduit que pourj∈J0, nK,

Ln(f) (xj) = Xn

i=0

f(xi)li(xj) = Xn

i=0

f(xi)δi,j=f(xj).

Ceci montre queL_n(f)est un polynôme interpolateur defaux pointsx_i. SoitPun polynôme interpolateur defaux points x_i. Alors,Pest un polynôme de degré au plusnet pour touti∈J0, nK,

P(x_i) =f(x_i) =L_n(f) (x_i).

Ainsi, les deux polynômesPetLn coïncident en au moinsn+1 réels deux à deux distincts et sont de degré inférieur ou égal àn. On en déduit queP=Ln(f). Ceci montre l’unicité deLn(f).

II.2 - Calcul effectif du polynôme interpolateur de Lagrange Q8 Informatique.

✞ ☎

def lagrange (x ,y ,a ):

Somme =0 n= len (x)

for i in range (n) : li =1

for j in range (n) : if j != i :

li

=( a

x[j ])/( x[i]

x[j ]) Somme += y[i ]

li

return ( Somme )

✝ ✆

Q9 Informatique.







P(x₀) =f(x₀) ...

P(x_n) =f(x_n)

⇔











a₀+a₁x₀+. . .+a_nxⁿ₀ =f(x₀) a₀+a₁x₁+. . .+a_nxⁿ₁ =f(x₁)

...

a₀+a₁x_n+. . .+a_nxⁿ_n=f(x_n)

⇔











1 x₀ . . . xⁿ₀ 1 x₁ . . . xⁿ₁ ... ... ... 1 x_n . . . xⁿ_n



















 a₀ a₁ ... a_n











=









 f(x₀) f(x₁)

... f(x_n)









 .

Donc,V est la matrice deVandermonde:











1 x0 . . . xⁿ₀ 1 x1 . . . xⁿ₁ ... ... ... 1 x_n . . . xⁿ_n









 .

En effectuant le pivot deGauss,

• on effectue la transformationL₂←L₂−L₁ : O(n) opérations. On fait de même pour les lignes 3 ànce qui achève la première étape de l’algorithme avecO(n×n) =O n²

opérations.

•on recommence à l’aide du pivot ligne 2, colonne 2, puis ligne 3, colonne 3, . . . puis lignen, colonnenavecO n×n²

= O n³

opérations.

La complexité du calcul estO n³ .

II.3 - Expression de l’erreur d’interpolation

Q10 Montrons par récurrence que, pour toutp∈N^∗, siφ : [a, b]→Rest une fonctionpfois dérivable sur [a, b]qui s’annulep+1 fois sur[a, b], alors il existec∈]a, b[tel que φ^(p)(c) =0.

•Soitφune fonction dérivable sur[a, b]s’annulant en deux points distinctsx₀et x₁de[a, b]tels quex₀< x₁. Alors, φest continue sur[x₀, x₁], dérivable sur]x₀, x₁[et prend la même valeur enx₀et x₁. D’après le théorème deRolle, il existec∈]x0, x1[⊂]a, b[tel queφ^′(c) =0. Le résultat est donc vrai quandp=1.

•Soitp>1. Supposons le résultat pourp. Soitφune fonctionp+1fois dérivable sur[a, b]s’annulant enp+2points deux à deux distincts x₀,x₁, . . . ,x_p+1de[a, b]tels quex₀< x₁< . . . < x_p+1.

En particulier, pour chaquek∈J0, pK, φest continue sur[x_k, xk+1], dérivable sur]x_k, xk+1[et prend la même valeur enx_k etxk+1. D’après le théorème de Rolle, pour chaquek∈J0, pK, φ^′ s’annule en un certain réelc_k de]x_k, xk+1[.

Mais alors,φ^′ est une fonctionpfois dérivable sur[a, b]s’annulant enp+1 points deux à deux distincts de[a, b].

Par hypothèse de récurrence, il existec∈]a, b[tel que φ^(p+1)(c) = (φ^′)^(p)(c) =0.

Le résultat est démontré par récurrence.

Q11 Soitx∈σ.xest donc l’un desx_iet pour tout réelcde[a, b],f(x)−L_n(f)(x) =0= f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)

(n+1)! π_σ(x)et en particulier, il existec_x∈]a, b[tel quef(x) −L_n(f)(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c_x)

(n+1)! π_σ(x). Donc, la propriétéP_x est vraie quandx∈σ.

Q12 Soitx∈[a, b]\σ.F(x) =0⇔f(x) −L_n(f)(x) −λπ_σ(x) =0⇔λ= f(x) −L_n(f)(x)

πσ(x) (πσ(x)6=0carx /∈σ).

Q13 Soientx∈[a, b]\σpuisλfixé comme dans Q12. La fonctionFs’annule en chacun des x_icarf−L_n(f)d’une part etπ_σd’autre part, s’annulent en chacun desx_iet la fonctionF s’annule enxpar définition deλ. De plusxest distinct de chaquexi,06i6n. Finalement, la fonctionFs’annule enn+2points deux à deux distincts de l’intervalle[a, b].

De plus,festn+1fois dérivable sur[a, b]et il en est de même deF. D’après Q10, il existec_x∈]a, b[tel queF⁽ⁿ⁺¹⁾(c_x) =0.

Maintenant, puisqueL_n(f)est un polynôme de degré au plusnet queπ_σest un polynôme de degrén+1, pour tout réel t∈[a, b],

F⁽ⁿ⁺¹⁾(t) =f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) −0−λ(n+1)!dom(π_σ) =f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) −λ(n+1)!.

L’égalité,F⁽ⁿ⁺¹⁾(c_x) =0s’écrit explicitement f(x) −L_n(f)(x)

π_σ(x) =λ= f⁽ⁿ⁺¹⁾(c_x)

(n+1)! et doncf(x)−L_n(f)(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c_x) (n+1)! π_σ(x).

Encore une foisP_x est vraie.

Q14 Puisque fest de classeCⁿ⁺¹sur le segment[a, b], la fonctionf⁽ⁿ⁺¹⁾ est définie et continue sur le segment[a, b].

On en déduit que la fonctionf⁽ⁿ⁺¹⁾est bornée sur le segment[0, 1].

D’après la question Q11, la propriétéP_xest vraie quandx∈σet d’après Q13, la propriétéP_xest vraie quandx∈[a, b]\σ.

Finalement, la propriétéP_x est vraie pour toutxde[a, b]. Pour toutxde[a, b], on a alors

|f(x) −Ln(f)(x)|=

f⁽ⁿ⁺¹⁾(c_x) (n+1)!

Yn

k=0

|x−xk|6(b−a)ⁿ⁺¹ (n+1)!

f⁽ⁿ⁺¹⁾

_∞, et donc

kf−Ln(f)k∞6 (b−a)ⁿ⁺¹ (n+1)!

f⁽ⁿ⁺¹⁾

∞

.

Q15 On applique ce qui précède àf=sin,a=0et b=2π. Pour toutn∈N, f⁽ⁿ⁺¹⁾

_∞=1et donc pour toutn∈N, kf−Ln(f)k∞6 (2π)ⁿ⁺¹

(n+1)!. La suite

(2π)ⁿ⁺¹ (n+1)!

n∈N

converge vers0d’après un théorème de croissances comparées et donc la suite(kf−L_n(f)k^∞)_n∈N converge vers0. On en déduit que la suite de polynômes (Ln(f)) converge uniformément vers la fonction x7→ sinx sur [0, 2π].

Q16 Pour tout réelx de] −1, 1[, f(x) = 1 1+x² =

+∞

X

k=0

(−1)^kx^2k. On sait alors que pour toutk ∈N, f^(2k)(0)

(2k)! = (−1)^k puis

f^(2k)

_∞>

f^(2k)(0) =

(−1)^k(2k)!

= (2k)!.

Partie III - Famille de polynômes orthogonaux

Q17 Pourk∈J0, nK, posonsE_k=X^k.

• kE₀k²= Z1

−1

1²dt=2puisP₀= 1

kE0kE₀= 1

√2.

• hE₁, P₀i= Z1

−1

√t

2 dt=0 (fonction impaire) puisE₁−hE₁, P₀iP₀=X.

Ensuite,kE1k²= Z1

−1

t²dt= 2

3 et doncP1= r3

2X.

Finalement,P₀= 1

√2 et P₁= r3

2X.

Q18 Par définition de l’orthonormalisée, pour toutk∈J0, nK. Vect(P₀, . . . , P_k) =Vect(E₀, . . . , E_k) =R_k[X].

Par suite,Pn ∈(Vect(P0, . . . , Pn−1))^⊥= (R_n−1[X])^⊥.

P_n ∈Vect(P₀, . . . , P_n) =Vect(E₀, . . . , E_n) =R_n[X]et doncP_nest de degré au plusn. SiP_n est de degré inférieur ou égal àn−1, alorsP_n∈R_n−1[X]∩(R_n−1[X])^⊥={0}et doncP_n =0 ce qui est faux puisqueP_n est de norme1. Donc, P_n est de degrén.

Q19 Soitn>1.

Z1

−1

Pn(t)dt=√ 2

Z1

−1

Pn(t)P₀(t)dt=√

2hPn, P0i=0

(carn6=0). SiPn ne s’annule pas sur[−1, 1], puisque la fonctionPn est continue sur [−1, 1], la fonctionPn est de signe constant sur[−1, 1] d’après le théorème des valeurs intermédiaires. Mais alors, Pn est une fonction continue sur [−1, 1], de signe constant sur[−1, 1], d’intégrale nulle sur[−1, 1]. On en déduit que Pn =0 ce qui est faux. Donc,Pn s’annule au moins une fois sur[−1, 1].

Q20 Par constructionQ∈R_n−1[X]. D’après Q18,P_n ∈(R_n−1[X])^⊥ et donc Z1

−1

H(t)dt= Z1

−1

Pn(t)Q(t)dt=hPn, Qi=0.

Par construction, toute racine deH=QPn est d’ordre pair et donc, quand Hs’annule en un certainx0,Hne change pas de signe au voisinage dex0. On en déduit que H est de signe constant sur [−1, 1]. Puisque de plus, Hest continue sur [−1, 1], d’intégrale nulle sur[−1, 1], on en déduit queHs’annule sur[−1, 1]puis queH=0(polynôme ayant une infinité de racines) ce qui est faux.

Donc,p=nou encoreP_n a nracines simples, toutes dans[−1, 1].

Partie IV - Méthodes de quadrature

Q21 Soitk∈J0, n−1K. La fonctionh : t7→xk+(t+1)xk+1−xk

2 est une fonction affine strictement croissante réalisant une bijection de[−1, 1] sur[h(−1), h(1)] = [x_k, xk+1]. En posant x=x_k+ (t+1)xk+1−x_k

2 et donc dx= xk+1−x_k

2 dt,

on obtient

xk+1−xk

2 Z1

−1

g(t)dt= Z1

−1

f

xk+ (t+1)xk+1−xk

2

xk+1−xk

2 dt= Zxk+1

x^k

f(x)dx.

Q22 SiP∈R_n[X],Pest un polynôme de degré au plusncoïncidant avecPent₀, . . . ,t_n. Par unicité d’un tel polynôme, on a doncP=L_n(P)puis

J(P) = Z1

−1

L_n(P)(t)dt= Z1

−1

P(t)dt.

Q23 l₀= X−t₁ t0−t1

= −1

2(X−1)et l₁= X−t₀ t1−t0

= 1

2(X+1)puis, par parité,α₀= −1 2

Z1

−1

(t−1)dt= 1 2

Z1

−1

1 dt=1 et α₁= 1

2 Z1

−1

(t+1)dt=1. On obtient alors

J(g) =g(−1) +g(1) =2g(−1) +g(1)

2 .

Le résultat s’interprète graphiquement : ci-dessous, le graphe d’une fonction gcontinue et positive sur [−1, 1], de sorte que

Z1

−1

g(t)dtest l’aire, exprimée en unités d’aire du domaineD =

(x, y)∈R²/ −16x61et06y6g(x) . J(g) = 2g(−1) +g(1)

2 est quant à elle l’aire, exprimée en unités d’aire, du trapèzeABCD. La méthodeJest donc la méthode des trapèzes.

1 2

−1 1

b b

b b

A B

C

D

Q24 Puisque P est de degré au plus2n+1 et que P_n+1 est de degrén+1 d’après Q18, Q est un élément de R_n[X].

Mais alors, d’après Q18,P_n+1∈(R_n[X])^⊥, Z1

−1

Q(t)P_n+1(t)dt=hQ, Pn+1i=0.

D’autre part,J(QP_n+1) = Xn

i=0

αiQ(t_i)Pn+1(t_i) =0. Finalement, J(QPn+1) =0=

Z1

−1

Q(t)Pn+1(t)dt.

Ensuite,

J(P) = Xn

i=0

αi(QP_n+1+R) (t_i) = Xn

i=0

αiR(t_i)

= Z1

−1

R(t)dt(d’après Q22, puisqueR∈R_n[X])

= Z1

−1

(Q(t)Pn+1(t) +R(t))dt

= Z1

−1

P(t)dt.

Q25 Soiti ∈J0, nK. On applique l’égalité de la question précédente au polynôme P=l²_i. Pest un polynôme de degré 2net en particulierPest un élément deR_2n+1[X]. On obtient

α_i= Xn

j=0

α_jδ_i,j= Xn

j=0

α_jP(t_j) =J(P)

= Z1

−1

P(t)dt > 0(intégrale d’une fonction continue, positive et non nulle).

Ainsi, pour touti∈J0, nK, αi > 0. D’autre part, en appliquant l’égalité de la question précédente, au polynômeP= 1, qui est bien un élément deR_2n+1[X], on obtient

Xn

i=0

α_i= Xn

i=0

α_iP(t_i) =J(P) = Z1

−1

P(t)dt= Z1

−1

dt=2.

Donc, Xn

i=0

α_i=2.