I. Intégrale sur un segment rappels
Théorème 1. tableaux des primitives
f(x) = F(x) =
0 k
a∈R ax+k
xα, α∈R\{−1} xα+1 α+ 1+k 1
xn, n≥2 − 1
(n−1)xn−1+k 1
x ln|x|+k
ex ex+k
eαx, α∈R∗ 1
αeαx+k
f = F =
u0.uα, α∈R\{−1} uα+1 α+ 1+k u0
un, n≥2 −1
(n−1)un−1 +k u0
u ln|u|+k
u0.eu eu+k
Théorème 2. fonction de la borne supérieure
Soitf une fonction continue sur un intervalleI, eta∈I. Alors, la fonctionFdéfinie surIpar F(x) =
Z x
a
f(t)dt est de classeC1surI.
Et, ∀x∈I, F0(x) =f(x).
II. Les différents cas
Définition 1.
Soitf une fonction continue (par morceaux) sur[a; +∞[. On dit que l’intégrale impropre ou généralisée
Z +∞
a
f(t)dt estconvergentesi lim
x→+∞
Z x
a
f(t)dt existe et est finie.
Dans ce cas, on pose Z +∞
a
f(t)dt= lim
x→+∞
Z x
a
f(t)dt. Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale estdivergente.
Définition 2.
Soitf une fonction continue (par morceaux) sur]− ∞;b]. On dit que l’intégrale impropre ou généralisée
Z b
−∞
f(t)dt estconvergentesi lim
x→−∞
Z b
x
f(t)dt existe et est finie.
Dans ce cas, on pose Z b
−∞
f(t)dt= lim
x→−∞
Z b
x
f(t)dt. Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale estdivergente.
Définition 3.
Soitf une fonction continue (par morceaux) surR.
On dit que l’intégrale impropre ou généralisée Z +∞
−∞
f(t)dt estconvergentes’il existe un réelctel que les intégrales Z c
−∞
f(t)dt et Z +∞
c
f(t)dt sont convergentes.
Dans ce cas, on pose Z +∞
−∞
f(t)dt= Z c
−∞
f(t)dt+ Z +∞
c
f(t)dt.
Théorème 3.
Si l’intégrale Z +∞
−∞
f(t)dt est convergente, alors pour tout réel c, les intégrales Z c
−∞
f(t)dt et Z +∞
c
f(t)dt sont convergentes, et on a :
Z +∞
−∞
f(t)dt= Z c
−∞
f(t)dt+ Z +∞
c
f(t)dt.
Définition 4.
Soita < bdeux réels, et soitf une fonction continue (par morceaux) sur]a;b]. On dit que l’intégrale impropre ou généralisée(ena)
Z b
a
f(t)dt estconvergentesi lim
x→a+
Z b
x
f(t)dt existe et est finie.
Dans ce cas, on pose Z b
a
f(t)dt= lim
x→a+
Z b
x
f(t)dt.
Définition 5.
Soita < bdeux réels, et soitf une fonction continue (par morceaux) sur[a;b[. On dit que l’intégrale impropre ou généralisée(enb)
Z b
a
f(t)dt estconvergentesi lim
x→b−
Z x
a
f(t)dt existe et est finie.
Dans ce cas, on pose Z b
a
f(t)dt= lim
x→b−
Z x
a
f(t)dt.
Définition 6.
Soita < bdeux réels, et soitf une fonction continue (par morceaux) sur]a;b[. On dit que l’intégrale impropre ou généralisée(enb)
Z b
a
f(t)dt estconvergentes’il existe un réelc∈]a;b[tel que les intégrales
Z c
a
f(t)dt et Z b
c
f(t)dt sont convergentes.
Dans ce cas, on pose Z b
a
f(t)dt= Z c
a
f(t)dt+ Z b
c
f(t)dt.
Remarque.
Là aussi, en cas de convergence, la scission peut alors s’effectuer en tout pointc∈]a;b[.
Théorème 4. fonction avec un nombre fini de points de discontinuité
Soita < a1< a2< ... < an < b, avecaétant réel ou égal à−∞, etbétant réel ou égal à+∞. Soitf une fonction continue sur]a;b[\{a1, ..., an}.
L’intégrale Z b
a
f(t)dt converge si les intégrales Z a1
a
f(t)dt, Z a2
a1
f(t)dt ,..., Z b
an
f(t)dt sont convergentes.
Dans ce cas, on a :
Z b
a
f(t)dt= Z a1
a
f(t)dt+ Z a2
a1
f(t)dt+...+ Z b
an
f(t)dt
III. Techniques de calcul
Remarque.
Outre le calcul direct, lorsque l’on peut facilement trouver une primitive, les techniques de calcul vues sur un segment (intégration par parties, changement de variable) peuvent encore s’appliquer, à condition de s’être au préalable ramené à un segment.
La seule exception concerne les changements de variables affine.
Exemple 1.
Z +∞
0
e−tdt,
Z+∞
0
e−
√ tdt,
Z +∞
0
te−tdt,
Z +∞
1
dt t2,
Z 1
0
√dt t,
Z 1
0
ln(t)dt,
Z +∞
1
dt t√
t2+ 1
IV. Intégrales de référence
Théorème 5. intégrales de Riemann (en+∞) Soita >0.
L’intégrale Z +∞
a
dt
tα converge si, et seulement si α >1.
Démonstration.
Théorème 6. intégrales de Riemann (en0) Soitb >0.
L’intégrale Z b
0
dt
tα converge si, et seulement si α <1.
Démonstration.
Théorème 7. intégrales exponentielles L’intégrale
Z +∞
0
e−λtdt converge si, et seulement si λ >0.
Démonstration.
V. Critères de convergence
Remarque.
Dans cette section,adésigne un réel, etbdésigne un réel ou bien+∞.
Les résultats sont énoncés sur un intervalle de type[a;b[(et une intégrale généralisée enb), et s’adapteront à un intervalle]a;b]ou ]a;b[.
Théorème 8. comparaison
Soitf etgdes fonctions continues (par morceaux), positives sur[a;b[. On suppose que ∃c∈[a;b[ / ∀t∈[c;b[, 0≤f(t)≤g(t). Alors :
1. Si Z b
a
g(t)dt est convergente, alors Z b
a
f(t)dt aussi.
2. Si Z b
a
f(t)dt est divergente, alors Z b
a
g(t)dt aussi.
Exemple 2.
Z +∞
−∞
dt t2+ 1
Théorème 9. négligeabilité
Soitf etgdes fonctions continues (par morceaux), positives sur[a;b[. On suppose que f(t) =
b o(g(t)). Alors : 1. Si
Z b
a
g(t)dt est convergente, alors Z b
a
f(t)dt aussi.
2. Si Z b
a
f(t)dt est divergente, alors Z b
a
g(t)dt aussi.
Exemple 3.
Z +∞
0
e−t
2 2dt
Théorème 10. équivalence
Soitf etgdes fonctions continues (par morceaux), positives sur[a;b[.
On suppose que f(t)∼
b g(t). Alors, les intégrales
Z b
a
f(t)dt et Z b
a
g(t)dt sont de même nature.
Exemple 4.
Z +∞
1
ln t+ 1
t
dt,
Z +∞
0
√dt t+t2
VI. Propriétés de l’intégrale
Remarque.
Dans cette section, les résultats sont énoncés pour une intégrale du type Z +∞
a
f(t)dt.
Ils s’adaptent évidemment aux différents cas Z b
−∞
f(t)dt, Z +∞
−∞
f(t)dt et Z b
a
f(t)dt.
Théorème 11. Relation de Chasles
Soitf une fonction continue (par morceaux) sur[a; +∞[. Soitb∈[a; +∞[. Les intégrales
Z +∞
a
f(t)dt et
Z +∞
b
f(t)dt sont de même nature.
En cas de convergence, on a :
Z +∞
a
f(t)dt= Z b
a
f(t)dt+ Z +∞
b
f(t)dt
Remarque.
L’intégrale Z b
a
f(t)dtest dans ce cas précis celle d’une fonction continue (par morceaux) sur un segment, donc existe toujours.
Théorème 12. linéarité
1. Soitf une fonction continue (par morceaux) sur[a; +∞[. Soitλ∈R∗. Les intégrales
Z +∞
a
λf(t)dt et
Z +∞
a
f(t)dt sont de même nature. En cas de convergence, on a : Z +∞
a
λf(t)dt=λ Z +∞
a
f(t)dt 2. Soitf etgdeux fonctions continues (par morceaux) sur[a; +∞[.
Si les intégrales Z +∞
a
f(t)dt et Z +∞
a
f(t)dt sont convergentes, alors
Z +∞
a
(f(t) +g(t))dt converge aussi, et on a : Z +∞
a
(f(t) +g(t))dt= Z +∞
a
f(t)dt+ Z +∞
a
g(t)dt
Théorème 13. positivité ou croissance de l’intégrale
Soitf etgdes fonctions continues (par morceaux) sur[a; +∞[.
1. On suppose que ∀t∈[a; +∞[, f(t)≤g(t).
Sous réserve de convergence, on a alors Z +∞
a
f(t)dt≤ Z +∞
a
g(t)dt 2. a. On suppose que ∀t∈[a; +∞[, f(t)≥0.
Sous réserve de convergence, on a alors Z +∞
a
f(t)dt≥0. b. Si de plus,f n’est pas la fonction nulle, alors
Z +∞
a
f(t)dt >0.
Théorème 14. parité
Soitf une fonction continue (par morceaux) surR.
1. On suppose quefest paire surR.
Alors, Z +∞
−∞
f(t)dt converge si, et seulement si, Z +∞
0
f(t)dt converge. Dans ce cas, on a : Z +∞
−∞
f(t)dt= 2 Z +∞
0
f(t)dt 2. On suppose quefest impaire surR.
Alors, Z +∞
−∞
f(t)dt converge si, et seulement si, Z +∞
0
f(t)dt converge. Dans ce cas, on a : Z +∞
−∞
f(t)dt= 0
Exemple 5.
Z +∞
−∞
e−|t|dt,
Z +∞
−∞
te−t
2 2dt
Théorème 15. convergence monotone
Soitf une fonction continue (par morceaux), positive sur[a; +∞[. Alors, l’intégrale
Z +∞
a
f(t)dt converge si, et seulement si, la fonction x7−→
Z x
a
f(t)dt est majorée sur[a; +∞[.
VII. Intégrales et valeur absolue
Définition 7.
Soitf une fonction continue (par morceaux) sur[a; +∞[.
On dit que Z +∞
a
f(t)dt estabsolument convergentesi Z +∞
a
|f(t)|dt converge.
Théorème 16. inégalité triangulaire
Soitf une fonction continue (par morceaux) sur[a; +∞[. On suppose que
Z +∞
a
f(t)dt est absolument convergente. Alors :
Z +∞
a
f(t)dt
≤ Z +∞
a
|f(t)|dt
Théorème 17.
Une intégrale absolument convergente est convergente.
Remarque.
La réciproque est fausse.
Remarque.
Les théorèmes de convergence précédents concernant les fonctions positives, on peut donc les appliquer pour montrer la convergence absolue
Exemple 6.
Z +∞
−∞
te−t
2 2dt
