AIRES et Intégrales – Feuille d’exercices
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Exercice 1 :
1. On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. Calculer ∫ 𝑓(𝑥)-, 𝑑𝑥.
2. On considère la fonction 𝑔 définie sur l’intervalle [−3 ; 3] par :
𝑔(𝑥) =
⎩⎪
⎨
⎪⎧ 1 2𝑥 +3
2 si 𝑥 ∈ [−3 ; −1]
𝑥 + 2 si 𝑥 ∈] − 1 ; 0 [
−2
3𝑥 + 2 si 𝑥 ∈ [0 ; 3]
a. Tracer la courbe représentative 𝐶< de la fonction 𝑓 dans un repère orthonormé (O ; 𝚤⃗, 𝚥⃗).
La fonction 𝑔 est-elle continue sur l’intervalle [−3 ; 3] ?
b. Calculer l’aire du domaine délimité par la courbe 𝐶<, l’axe des abscisses et les droites d’équations 𝑥 = −3 et 𝑥 = 3.
c. Exprimer cette aire à l’aide d’une intégrale.
3. Donner un encadrement entier de ∫ 2√𝑥DC 𝑑𝑥 grâce à la représentation graphique ci-contre.
Exercice 2 : on considère la fonction 𝑓 définie sur [−2 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = −√𝑥 + 2 − 1.
On a tracé ci-contre la courbe représentative de la fonction racine carrée sur l’intervalle [0 ; 1] dans un repère orthonormé (𝑂 ; 𝚤⃗, 𝚥⃗).
1. Tracer, dans ce même repère, la courbe représentative de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [−2 ; −1].
2. En admettant que ∫ √𝑥D- 𝑑𝑥 =G,, calculer ∫ 𝑓(𝑥)HGH- 𝑑𝑥.
Exercice 3 : déterminer le signe de ∫ DG IIHJKL- 𝑑𝑥.
Exercice 4 :
1. Donner un majorant de ∫ cos 𝑡-C G 𝑑𝑡. 2. Donner un minorant de ∫ 𝑒H-- I 𝑑𝑥.
Exercice 5 : on considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [0 ; 3] par 𝑓(𝑥) = R 3𝑥G si 𝑥 ∈ [0 ; 1]
−𝑥 + 4 si 𝑥 ∈] 1 ; 3]. 1. Démontrer que la fonction 𝑓 est continue sur l’intervalle [0 ; 3].
2. Calculer ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥D, .
Exercice 6 : on considère les fonctions 𝑓 et 𝑔 continues sur [3 ; 4] telles que ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥,C = 5 et ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥,C = 7.
Lorsque cela est possible, calculer les intégrales suivantes.
1. ∫ V𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)W 𝑑𝑥,C 3. ∫,C V2𝑓(𝑥) − 6𝑔(𝑥)W 𝑑𝑥 5. ∫ ,C CY𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 2. ∫ −8𝑓(𝑥) 𝑑𝑥,C 4. ∫ (𝑓(𝑥)),C G 𝑑𝑥 6. ∫C, 2𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
Exercice 7 : on considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [0 ; 1] par 𝑓(𝑥) = 3𝑥G+ 5𝑥 − 4 Calculer ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥D-
Exercice 8 : dans tout l’exercice, 𝑎 et 𝑏 désignes des nombres réels et 𝑓 et 𝑔 désignent deux fonctions continues sur ℝ. Déterminer, en justifiant la réponse si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. ∫ (𝑓(𝑥))^] G 𝑑𝑥 = _∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥^] `G.
2. Si 𝑓 ≠ 𝑔, alors ∫ 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥^] = _∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥^] ` × _∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥^] `.
3. Si 𝑓 est à valeurs positive sur l’intervalle [𝑎 ; 𝑏] et si ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥^] = 0 alors, pour tout nombre réel 𝑥 ∈ [𝑎 ; 𝑏], 𝑓(𝑥) = 0.
4. Si ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥^] ≥ 0 et 𝑎 < 𝑏 alors, pour tout nombre réel 𝑥 ∈ [𝑎 ; 𝑏], 𝑓(𝑥) ≥ 0.
5. ∫ ^] e(I)<(I) 𝑑𝑥= ∫ e(I) fIhg
∫ <(I) fIhg .
6. Si 𝑓 est une fonction paire alors, ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥H^^ = 2 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥D^ . 7. Si 𝑓 est une fonction impaire alors, ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥H^^ = 0.
8. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥D, = 3 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥D- .
9. Si pour tout nombre réel 𝑥 ∈ [𝑎 ; 𝑏], 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) alors, ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥^] ≤ ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥^] . 10. ∫ 𝑒H-D HI𝑑𝑥 = 1 − 𝑒.
11. ∫ √1 − 𝑥H-- G 𝑑𝑥=j
G.
Exercice A : intégrale et encadrement
On considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [0 ; 1] par 𝑓(𝑥) = 1 −IGk− cos 𝑥.
1. Étudier les variations de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0 ; 1].
On pourra étudier le signe de la fonction dérivée seconde de la fonction 𝑓.
2. Justifier que, pour tout nombre réel 𝑥 appartenant à [0 ; 1], on a 1 −IGk ≤ cos 𝑥 ≤ 1.
3. En déduire un encadrement de l’intégrale 𝐼 = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥D- .
Exercice 9 : on considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [1 ; 4] par 𝑓(𝑥) = √9 + 𝑥G
1. Sans utiliser la dérivation, étudier le sens de variation de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [1 ; 4].
2. En déduire un encadrement de 𝑓(𝑥), pour 𝑥 ∈ [1 ; 4].
3. Montrer alors que 3√10 ≤ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥-C ≤ 15.
Exercice 10 : on considère la représentation graphique ci-contre.
1. Exprimer l’aire de la partie grisée du plan à l’aide d’intégrales.
2. Déterminer la valeur de l’aire de la partie grisée du plan.
Exercice 11 : on considère une fonction 𝑓 dont la courbe représentative est donnée dans le repère orthonormé ci-contre.
Quel est le signe de ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥^] ?
Exercice 12 : on considère deux fonctions 𝑓 et 𝑔 définie respectivement sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 𝑥,− 3𝑥 + 7 et 𝑔(𝑥) = 𝑥,− 2𝑥 + 3 1. Justifier que, sur l’intervalle [−1 ; 3], 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥).
2. Calculer l’aire du domaine compris entre les courbes représentatives des fonctions 𝑓 et 𝑔 et les droites d’équation 𝑥 = −1 et 𝑥 = 3.
Exercice 13 : on considère la fonction f périodique de période 3 définie par :
𝑓(𝑡) = o
2𝑡 si 𝑡 ∈ [0 ; 1[
2 si 𝑡 ∈ [1 ; 2 [
−2𝑡 + 6 si 𝑡 ∈ [2 ; 3[
1. Représenter graphiquement la fonction 𝑓 sur l’intervalle [−6 ; 6].
2. Calculer la valeur moyenne de 𝑓 sur une période.
Exercice 14 : on considère la fonction 𝑓 définie sur ]0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = √𝑥𝑒-HI. La fonction 𝑓 est dérivable donc continue sur ]0 ; +∞[.
On peut alors considérer la suite (𝑢q) définie sur ℕ∗ par 𝑢q = ∫qqL- 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡.
1. Pour tout nombre entier naturel 𝑛 non nul, interpréter géométriquement 𝑢q. 2. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel 𝑛 non nul, 𝑓(𝑛 + 1) ≤ 𝑢q ≤ 𝑓(𝑛).
3. En déduire que la suite (𝑢q) est décroissante.
4. Montrer que la suite (𝑢q) est convergente et déterminer sa limite.
Exercice B : suite d’intégrales Partie A
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note 𝐶- la courbe représentative de la fonction 𝑓- définie sur ℝ par :
𝑓-(𝑥) = 𝑥 + 𝑒HI. 1. Justifier que 𝐶- passe par le point 𝐴 de coordonnées (0 ; 1).
2. Établir le tableau de variations de la fonction 𝑓-. On précisera les limites de 𝑓- en +∞ et en −∞.
Partie B
L’objet de cette partie est d’étudier la suite (𝐼q) définie sur ℕ par : 𝐼q = v (𝑥 + 𝑒HqI
-
D ) 𝑑𝑥.
1.
a. Dans le plan muni d’un repère orthonormé (𝑂 ; 𝚤⃗, 𝚥⃗), pour tout nombre entier naturel 𝑛, on note 𝐶q la courbe représentative de la fonction 𝑓q définie sur ℝ par :
𝑓q(𝑥) = 𝑥 + 𝑒HqI.
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé 𝐶q pour plusieurs valeurs de 𝑛 et la droite 𝐷 d’équation 𝑥 = 1.
Interpréter géométriquement l’intégrale 𝐼q.
b. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (𝐼q) et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer
2.
a. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel 𝑛 non nul, on a : 𝐼qL-− 𝐼q = v 𝑒- H(qL-)I(1 − 𝑒I) 𝑑𝑥
D .
b. Démontrer alors que la suite (𝐼q) est décroissante.
c. En déduire que la suite (𝐼q) converge.
3. On admet que, pour tout nombre entier naturel 𝑛 non nul, 𝐼q = -G−qx-y+q-. Déterminer la limite de la suite (𝐼q).
