Math´ematiques 3 Semaine du 28 septembre L2 CUPGE - automne 2020
Colle – Int´ egrales impropres
— Equivalents : d´efinition (f = g +o(g)), produit d’´equivalents, utilisation pour les calculs de limites, trouver un ´equivalent simple d’une fonction `a partir de son DL.
— R´evisions sur l’int´egration sur un segment : changement de variable, int´egration par parties et propri´et´es de base.
— D´efinition de l’int´egrale impropre sur un intervalle semi-ouvert, sur un intervalle ouvert.
— Cas des fonctions positives : si on a une borne uniforme sur les int´egrales sur les sous-segments, alors l’int´egrale impropre converge.
— Application : la convergence absolue implique la convergence.
— Utilisation des ´equivalents pour montrer la convergence d’int´egrales impropres.
Questions de cours
— Donner la d´efinition de l’int´egrale impropre d’une fonction continue sur un intervalle ouvert.
— Donner la d´efinition de l’int´egrale sur un segment `a partir des fonctions en escalier.
— Prouver le th´eor`eme fondamental de l’int´egration.
— Discuter la convergence de l’int´egrale impropre R1
0 xαdx o`u α∈R.
— Discuter la convergence de l’int´egrale impropre R+∞
1 xαdxo`u α∈R.
Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques
