Master CFP – Parcours de Physique Quantique : de l’atome au solide 10 mars 2013 Int´ egrales de chemin

Master CFP – Parcours de Physique Quantique : de l’atome au solide 10 mars 2013 Int´ egrales de chemin

TD n ^o 1 : Prol´ egom` enes 1 Moments et Cumulants

Soit une variable al´ eatoire x ∈ R distribu´ ee par une loi p(x). Les moments de cette loi sont d´ efinis comme : hx ^k i = R

dx p(x) x ^k . 1/ Comment la fonction g´ en´ eratrice

g(b)

= h e ^bx i (1)

est elle reli´ ee aux moments ?

2/ On introduit la fonction g´ en´ eratrice des cumulants w(b) = ln g(b) =

∞

X

n=1

b ⁿ

n! hx ⁿ i _c (2)

Montrer en particulier que

hxi _c = hxi (3)

hx ² i _c = hx ² i − hxi ² = h(x − hxi) ² i (variance) (4)

hx ³ i _c = h(x − hxi) ³ i (skewness) (5)

hx ⁴ i _c = h(x − hxi) ⁴ i − 3h(x − hxi) ² i ² (kurtosis) (6) 3/ Quels sont les moments et les cumulants de la distribution gaussienne : p(x) = ^{√ 1}

2π e ^−x

^/2 ? 4/ Mˆ eme question pour la distribution de Poisson : p(x) = e ^−x pour x ∈ R + .

5/ Cumulants de l’´ energie.– Montrer que hE _n ^m i _c = (− _∂β ^∂ ) ^m ln Z β o` u Z β = P

n e ^−βE

est la fonction de partition canonique.

6/ On consid` ere un mod` ele classique dont l’´ energie est H = H 0 + U . Montrer que l’´ energie libre se d´ eveloppe en fonction de U comme :

F = F 0 + hU i ₀ − β

2 hU ² i ₀ − hU i ² ₀

+ · · · (7)

o` u h· · ·i ₀

= P

C · · · _Z ¹

0

e ^−βH

^(C) (la somme porte sur les diff´ erentes configurations C du syst` eme).

7/ Appliquer la formule pr´ ec´ edente au cas de l’oscillateur anharmonique : H ₀ = ¹ ₂ (p ² + ω ² x ² ) et U = λ x ⁴ .

2 Quelques int´ egrales gaussiennes

1/ Calculer R +∞

−∞ dx e ⁻

^x

^+bx

2/ Pour int´ egrer dans R ² on introduit la notation complexe dzd¯ z

= dxdy.

Calculer R

dzd¯ z e ^{−¯ zaz+¯ bz+¯ zb} o` u a, b et c sont trois nombres complexes (Re a > 0).

3/ Soit X un vecteur colonne de R ^N dont les composantes sont x ₁ , · · · , x _N . On note dX

= dx 1 · · · dx N la mesure d’int´ egration dans R ^N . Calculer R

R

dX e ⁻

^X

^AX+B

^X o` u A est une matrice N × N r´ eelle sym´ etrique dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.

4/ Soit Z un vecteur de C ^N . On note dZdZ ^† la mesure d’int´ egration dans C ^N (i.e. si Z = X +iY avec X, Y ∈ R ^N alors dZ dZ ^†

= dx 1 dy 1 · · · dx N dy N ). Calculer R

C

dZdZ ^† e ^−Z

^AZ+B

^Z+Z

^B o` u A est une matrice N × N hermitique dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.

B est un vecteur de C ^N .

3 Mesure gaussienne, fonction g´ en´ eratrice et th´ eor` eme de Wick

Le vecteur colonne X ∈ R ^N regroupe N variables al´ eatoires (x ₁ , · · · , x _N ) distribu´ ees selon une mesure gaussienne :

d ^N X P (X) = d ^N X N exp − 1

2 X ^T AX (8)

o` u A est une matrice N × N r´ eelle sym´ etrique dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.

0/ Donner un exemple de situation physique o` u une telle mesure apparaˆıt.

1/ Que vaut la constante de normalisation N ?

2/ Fonction g´ en´ eratrice.– On introduit la fonction du vecteur B ∈ R ^N :

G(B)

= h e ^B

^X i (9)

o` u h· · ·i d´ esigne la moyenne sur une mesure d ^N X P (X).

a/ Comment les fonctions de corr´ elation hx _i

· · · x i

i peuvent-elles se d´ eduire de G(B ) ?

b/ Calculer explicitement G(B) pour la mesure (8). En d´ eduire la fonction de corr´ elation ` a deux points hx <sub>i</sub> x <sub>j</sub> i, puis celle ` a quatre points hx _i x _j x _k x _l i.

3/ Th´ eor` eme de Wick.– Pour une mesure gaussienne, la fonction de corr´ elation ` a 2n points est obtenue en “contractant” de toutes les mani` eres possibles les variables deux ` a deux :

hx _i

x i

x i

x i

· · · x i

x i

i = hx _i

x i

i hx _i

x i

i × · · · × hx _i

x i

i + (autres contractions) (10) Quel est le nombre de contractions ?

4/ On consid` ere deux variables gaussiennes x et y telles que hxi = hyi = 0 et hx ² i = 5, hy ² i = 2 et hxyi = 3.

a/ Calculer hx ⁴ i, hx ³ yi, hx ² y ² i et hxy ⁵ i.

b/ Quelle est la mesure P (x, y) ?

4 Mesure gaussienne P (X ) ∝ exp − ¹ ₂ X ^T AX avec det A = 0

Dans certains probl` emes on peut ˆ etre amen´ e ` a consid´ erer une mesure P(X) ∝ exp − ¹ ₂ X ^T AX

dans R ^N pour une matrice r´ eelle sym´ etrique A telle que det A = 0. Dans ce cas P (X) n’est

une mesure acceptable (normalisable) que dans le sous espace de R ^N compl´ ementaire de KerA.

Consid´ erons une telle situation :

X ^T AX =

N

X

n=2

(x _n − x n−1 ) ² (11)

1/ Exprimer A. Donner le vecteur propre V ⁽⁰⁾ associ´ e ` a la valeur propre 0.

2/ On note λ m et V ^(m) , m = 0, · · · , N − 1 les valeurs propres et les vecteurs propres. Montrer que :

λ _m = 4 sin ² mπ 2N

(12) et

V _n ⁽⁰⁾ = 1

√

N (13)

V _n ^(m) = r 2

N cos mπ

N (n − 1/2)

pour m > 0 (14)

Orthonormalisation : On pourra v´ erifier l’orthonormalisation des vecteurs propres en utilisant P N

n=1 z _n ^m = N δ _m,0 o` u z <sub>n</sub> = exp <sup>2iπn</sup> <sub>N</sub> sont les racines N i` emes de l’unit´ e.

3/ On introduit la matrice orthogonale O = (V ⁽⁰⁾ · · · V ^{(N −1)} ) qui relie le vecteur X ` a Q par : X = OQ. Une mesure satisfaisante peut ˆ etre exprim´ ee en fonction des nouvelles variables comme :

dq 1 dq 2 · · · dq N−1 N exp − 1 2

N −1

X

n=1

λ m q _m ² (15)

On note h· · ·i la moyenne par rapport ` a cette mesure. Si on choisit q <sub>0</sub> = 0, donner l’expression de la fonction de corr´ elation ` a deux points C _n,n

= hx _n x _n

i.

4/ Si on choisit maintenant q 0 = cste 6= 0, montrer que l’on obtient une autre fonction de corr´ elation C e _n,n

= hx _n x _n

i.

5/ Application : chaˆ ıne de ressorts classique ` a l’´ equilibre thermodynamique.– Une chaˆıne de ressorts est d´ ecrite par son hamiltonien :

H({x _n , p n }) = 1 2

N

X

n=1

p ² _n + 1 2 ω ²

N

X

n=2

(x n − x n−1 ) ² (16)

o` u x _n , p _n d´ esignent les positions et les impulsions de N masses reli´ ees par des ressorts.

a/ ´ Ecrire la mesure de Gibbs de la chaˆıne. Montrer que la fonction de partition peut s’´ ecrire Z β = Z _β ^cin Z _β ^pot . Par la suite on ne s’int´ eressera qu’` a la partie potentielle de l’´ energie.

b/ Quelle est l’origine physique de la valeur propre nulle de la matrice A ? c/ ´ Ecrire la mesure associ´ ee ` a l’´ energie de vibration.

d/ Donner l’expression des corr´ elations hq _m q _m

i entre coordonn´ ees normales.

e/ En d´ eduire les corr´ elations entre les positions des masses hx _n x _n

i.

f/ Fluctuations.– Nous ´ etudions ce r´ esultat dans la limite de grande ´ echelle (limite contiue N → ∞, a → 0 avec L = N a fix´ ee). Analyser hx ² _n i en fonction de n dans la limite continue.

Th´ eor` eme de Mermin-Wagner.– En n´ egligeant l’effet des bords, ´ etudier h(x _n − x m ) ² i. Dis- cuter la stabilit´ e de la phase “cristalline” 1D sous l’effet des fluctuations thermiques.

Indication : Dans la limite continue on peut remplacer la somme finie sur les modes par une somme infinie. On utilise : P ∞

m=1 1

(mπ)

cos(mπx) cos(mπx ⁰ ) = ¹ ₄ [x ² _< + (1 − x > ) ² ] o` u x < = min (x, x ⁰ ) et x > = max (x, x ⁰ ).

5 D´ erivation et int´ egration fonctionnelles

Soit f (t) une fonction r´ eelle d’un espace de fonctions L( R ) et F [f (t)] une fonctionnelle (on rappelle qu’une fonctionnelle est une application de L( R ) → R ). On d´ efinit les d´ eriv´ ees fonc- tionnelles par le d´ eveloppement ¹ :

F [f ] = F[0] + Z

dt f(t) δF

δf (t) [0] + 1 2!

Z

dtdt ⁰ f (t)f (t ⁰ ) δ ² F

δf (t)δf(t ⁰ ) [0] + · · · (17) Remarques :

• La d´ eriv´ ee fonctionnelle _δf ^δF _(t) est une fonction de t.

• Une fa¸ con commode de la calculer est d’utiliser : δF

δf (t) [f ] = lim

→0

F [f (t ⁰ ) + δ(t ⁰ − t)] − F[f (t ⁰ )]

(18)

A. D´ erivation fonctionnelle

Calculer les d´ eriv´ ees fonctionnelles premi` eres de F ₁ [f ] = R

dt f(t), F ₂ [f ] = R

dt f(t) ⁿ , F 3 [f ] = R

dt e ^{f (t)} , F 4 [f ] = exp R

dt e ^{f (t)} , G _t

[f ] = f (t ₀ )

et la d´ eriv´ ee fonctionnelle seconde de F ₄ [f ].

B. Fonctionnelle g´ en´ eratrice

De mˆ eme qu’on a ´ etendu le concept de d´ eriv´ ee partielle ` a celui de d´ eriv´ ee fonctionnelle, on extrapole la notion d’int´ egration sur N variables R

d ^N X · · · ` a celle d’int´ egration sur des espaces de fonctions, not´ ee R

Df (t) · · ·

En particulier, ce nouvel outil est n´ ecessaire si l’on souhaite consid´ erer une fonction al´ eatoire distribu´ ee avec une certaine mesure Df (t) P [f ]. On d´ efinit la fonctionnelle g´ en´ eratrice des fonc- tions de corr´ elation comme :

G[b(t)]

= h e ^{R dt b(t)f (t)} i (19) o` u la moyenne est d´ efinie par

h· · ·i

= Z

Df(t) · · · P[f ] (20)

1

Notez l’analogie avec le d´ eveloppement d’une fonction F(X) de N variables : F (X) = F (0) + P

i

X

∂X_i

(0) +

1 2

P

i,j

X

X

∂X_i∂X_j

(0) + · · ·

1/ Bruit blanc gaussien.– On consid` ere la mesure gaussienne Df (t) exp − _2w ¹ R

dt f (t) ² (on admet que la constante de normalisation est rentr´ ee dans la d´ efinition de Df ). Calculer la fonctionnelle g´ en´ eratrice G[b] et d´ eduire les fonctions de corr´ elation de f (t).

2/ Un bruit blanc non gaussien.– On consid` ere la fonction al´ eatoire f (t) = w

N

X

n=1

δ(t − t n ) sur [0, T ]. (21)

Le nombre N le pics est al´ eatoire et les t _n sont des variables d´ ecorr´ el´ ees et uniform´ ement dis- tribu´ ees sur [0, T ]. La mesure est (Poisson) :

dt 1 · · · dt N P N (t 1 , · · · , t N ) = (λT ) ^N

N ! e ^{−λT dt 1}

T · · · dt N

T (22)

o` u λ est la densit´ e de pics δ.

a/ Montrer que la fonction g´ en´ eratrice des moments de f (t) est : G[b] = exp λ

Z T 0

dt( e ^wb(t) − 1) (23)

D´ eduire les fonctions de corr´ elation connexes (cumulants).

b/ Application : th´ eorie classique du bruit de grenaille.

Dans un conducteur ´ electrique, la nature discr` ete des porteurs de charge (les ´ electrons) conduit

`

a l’apparition de fluctuations du courant ´ electrique I . Lorsque le conducteur est ` a l’´ equilibre (hIi = 0), les fluctuations thermiques sont responsables de fluctuations dite de Johnson-Nyquist : hI <sup>2</sup> i = 2k <sub>B</sub> T /R o` u R est la r´ esistance.

Si le conduteur est soumis ` a une diff´ erence de potentiel, une mod´ elisation simple consiste

`

a ´ ecrire le courant comme une succession d’impulsions I (t) = q P

n f (t − t n ) arrivant ` a des temps suppos´ es d´ ecorr´ el´ es (o` u f (t) est une fonction tr` es ´ etroite t.q. R

dt f (t) = 1). La mise hors ´ equilibre du syst` eme produit des fluctuations du courant appel´ ees bruit de grenaille (ou de Shottky). En supposant que f (t) = δ(t) calculer le courant moyen hI(t)i ainsi que le spectre de bruit S(ω)

= R

d(t − t ⁰ ) e ^iω(t−t

⁾ hI(t)I(t ⁰ )i _c . Montrer que le spectre de bruit est proportionnel au courant moyen : S(ω = 0) = q hI i.

Remarque : Ce r´ esultat a permis r´ ecemment de mettre en ´ evidence l’existence de charges frac- tionnaires dans le r´ egime de l’effet Hall quantique fractionnaire.

L. Saminadayar, D. C. Glattli, Y. Jin & B. Etienne, Observation of the e/3 Fractionally Charged Laughlin Quasiparticle, Phys. Rev. Lett. 79 (1997) 2526.

M. Reznikov, R. de Picciotto, T. G. Griffiths, M. Heiblum & V. Umansky, Observation of qua- siparticles with 1/5 of an electron’s charge, Nature 399 (May 1999) 238.

c/ (question facultative) G´ en´ eraliser le calcul de la question a/ des fonctions de corr´ elations (1) au cas o` u les pics ont une largeur finie (δ(t) → h(t) o` u cette derni` ere fonction a une largeur ) ; discuter l’allure de S(ω).

(2) Au cas o` u les poids des pics δ sont al´ eatoires : f (t) = P N

n=1 w _n δ(t − t _n ). Les poids w _n sont

d´ ecorr´ el´ es et distribu´ es par la mˆ eme loi. On exprimera les fonctions de corr´ elation connexes de

f (t) en fonction des moments des w n .

6 Mesure gaussienne g´ en´ erale – Chaˆıne de ressorts dans la li- mite continue

Soit f(t) une fonction r´ eelle distribu´ ee selon une mesure gaussienne (forme la plus g´ en´ erale) : P [f] ∝ exp − 1

2 Z

dt ⁰ dt f(t ⁰ )A(t ⁰ , t)f(t) (24) 1/ Comment d´ efinir l’inverse C(t, t ⁰ ) du noyau int´ egral A(t, t ⁰ ) ?

2/ Calculer la fonctionnelle g´ en´ eratrice des moments (19) et en d´ eduire les fonctions de corr´ elation

`

a n points.

3/ Exemple 1 : On consid` ere A(t ⁰ , t) = _w ¹ δ(t ⁰ − t). Donner C(t ⁰ , t) et G[b].

4/ Exemple 2 : On s’int´ eresse maintenant ` a A(t ⁰ , t) = −δ(t ⁰ − t) _dt ^d

. a/ Exprimer P[f ].

b/ On est maintenant confront´ e au mˆ eme probl` eme que dans l’exercice 4. Il faut donc sp´ ecifier plus pr´ ecis´ ement l’espace des fonctions f(t) sur lequel la mesure est d´ efinie. Par exemple on choisit de consid´ erer les fonctions f (t) sur [0, T ] telles que f (0) = f (T) = 0. En d´ eduire C(t, t ⁰ ).

5/ Limite continue de la chaˆ ıne de ressorts.– On reprend l’´ etude de la chaˆıne de ressorts de l’exercice 4, dans la limite continue. Nous ´ ecrivons la mesure de Gibbs sous la forme :

dx 1 · · · dx _N e ^−βE

^[{x

^}] = dx 1 · · · dx _N e ⁻

^ω

^P

^(x

^−x

⁾

−→

N →∞ Dx(n) e ⁻

β 2

ω

R

0

dn

dn

(25) o` u n sera trait´ e comme une variable continue et x n → x(n) comme un

champ

(on ne consid` ere pas la partie cin´ etique de l’´ energie qui n’induit aucune corr´ elation entre les particules). ` A quelle situation physique correspondrait les conditions aux limites x(0) = x(N ) = 0 ? Donner la valeur de la fonction de corr´ elation hx(n)x(n ⁰ )i dans ce cas. Discuter physiquement ce r´ esultat (en particulier qu’implique le comportement des fluctuations hx(n) ² i).

7 Changement de variables dans une int´ egrale de chemin

On consid` ere l’int´ egrale de chemin K(x, t|0, 0) =

Z x(t)=x x(0)=0

Dx e ^{− R}

^dt

^{( ˙ x}

^{+V (x))} (26) solution de l’´ equation :

∂

∂t − 1 4

∂ ²

∂x ² + V (x)

K(x, t|0, 0) = δ(x) δ(t) (27) On proc` ede au changement de variables :

x = λy

t = ητ (28)

Montrer que :

Z x(t=ητ )=λy x(0)=0

Dx e ^{− R}

^dt

^{( ˙ x}

^{+V (x))} = 1 λ

Z y(τ)=y y(0)=0

Dy e ⁻

R

0

dτ

[

y ˙

+ηV (λy)]

(29)

ce qui peut s’interpr´ eter comme : “Dx = ¹ _λ Dy”.